parabol

Question

y=2x+m doğrusu y=$x^2$+2nx+3 parabolünü P(-1,3) noktasına göre simetrik iki noktada kesmektedir. Buna göre n kaçtır?

Answer 1

Doğrunun parabolü kestiği noktalardan birisi $(a,b)$ ise diğeri $(-2-a,6-b)$ olacaktır.

Bu noktalar hem doğrunun hem de parabolün üzerindedir. 

 $b=2a+m$,  $6-b=2(-2-a)+m= -4-2a+m$ dır. $6-(2a+m)=-4-2a+m$   ve buradan $m=5$  bulunur.

Doğrunun parabolü kestiği noktaların apsisleri, $2x+5=x^2+2nx+3$ eşitliğini sağlayan $x$'lerin aritmetik ortasıdır. $x^2+(2n-2)x-2=0$ denkleminin köklerin aritmetik ortası $-1$ olmalıdır. 

$\frac{-(2n-2)}{2}=-1$ eşitliğinden $n=2$ olur.

Comments

Hocam birisi (a,b) ise diğeri (-2-a,6-b)$ olacaktır. yazmışsınız pek anlayamadım nasıl -2-a, 6-b oldu?
(a,ise diğeri (-2-a,6-b)$ olacaktır.

---

Analitik olarak bir noktanın diğer bir noktaya göre simetriği nasıl bulunur?

Eğer $A(a,b)$ noktasının $P(-1,3)$ noktasına göre simetriği $B(c,d)$ ise $P(-1,3)$ noktası $|AB|$ nin orta noktası olacaktır. O zaman $-1=\frac{a+c}{2} \Rightarrow c=-2-a$ ve $3=\frac{b+d}{2} \Rightarrow d=6-b$ olacaktır. Biraz geç oldu ama umarım anlamışsındır. 

---

Evet çok teşekkürler