$\exp$ fonksiyonunun taylor serisi açılımı ile $\lim$ tanımının aynı olduğunu gösteriniz.

Question

$$e=\displaystyle\sum_{i=0}^\infty\dfrac{1}{i!}\tag1$$  ve  

$$e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n \right)^n\tag2$$


$(1)$ ve $(2)$'nin eşitliği $$\displaystyle\sum_{i=0}^\infty\dfrac{1}{i!}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n \right)^n\tag3$$ nasıl kanıtlanır?


Önerdiğim yöntem: Bu iki ifadenin farkı alınıp belli bir $n>N$ göstergeci için  $\forall\epsilon>0$ sayısından küçük olduğunuu göstermek.


Bu yöntem ile biraz karmaşık ve hoşuma gitmedi, aklınıza gelen yontemler nelerdir? Bu yontemlerı soylersenız araştırıp deneyıp gerıdonuş yapmak isterim.

 

Önerilen yontem yazılacaktır.(fikirleri etkilemesin diye hemen eklemiyorum)

Comments

Bu iki ifadeyi öyle nasıl çıkartıyorsun birbirinden. Onlar limit. Aynı $n$ için mi farkı alacaksın?