Double İntegral

Question

$x^{2}+y^{2}=2x$ silindirinin xy düzlemi ve $z=\sqrt {x^{2}+y^{2}}$ konisi arasındaki parçasının hacmini kutupsal koordinatlara dönüştürüp çözünüz.

(Mümkünse grafiği çizip gösterirseniz sevinirim.)

Answer 1

İstenen hacim $V$, ilgili bölgenin $xOy$ düzlemine izdüşümü $R$  olsun. $R$' nin çember olduğunu gözlemle. $$V=\int\int_{R} \sqrt{x^2+y^2}dxdy$$ olacaktır. Şimdi kutupsal koordinatlara geçelim. $$x=rcost$$ ve $$y=rsint$$ dönüşümü yaparsak $$dxdy=rdrdt$$ ve $$V=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2cost} \sqrt{(r^2cos^t+r^2sin^2t)}rdrdt=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2cost} r^2drdt=...$$ bulunur. Jakobiyenin nasıl hesaplanacağını biliyorsundur. Orayı direk yazdım.