Question

$\Bbb{Z}_{4}[x]$ polinom halkasındaki bütün sıfır bölenleri bulunuz?

Comments

http://math.stackexchange.com/questions/195146/zero-divisors-and-units-in-mathbb-z-4x

Answer 1

Eğer $0\ne a$ bir sıfır bölen ise bir adet $0\ne b$ elemanı vardır ki $ab=0$ olsun. Bu durunda $4|ab$ fakat $4\not | a,b$. Bu da $2|a,b$ demek. Bu durumda $a=2f(x)$ olacak şekilde bir $f(x)$ polinomu vardır. Hatta bu şekilde yazılabilen bir elemanı/polinomu $2$ ile çarparsak sıfır elde ederiz. Demek ki hepsi bu formdaymış.

Comments

Çözüme böyle başlamak uygun mu? Yoksa $f(x)g(x)=0$ olsun diyerek ve Katsayılar üzerinden (cevabınıza benzer) gitmek daha doğru olmaz mı?

---

$a$ dediğim bir polinom zaten. Aslında o şekilde başladım. Katsayılara teker teker girmek meşakkatli sanki. Burda $2$'nin tersinir olmadığını bir şekilde kullanmalıyız. 

Aslında $\mathbb Z[x]$ üzerinde modulo $4$'te çalışıyoruz.