$M$ ve $N$ noetherian ise $M \oplus N$ noetherian modüldür.

Question

$M$ ve $N$ iki noetherian modül olsun. O zaman $M \oplus N$ de bir noetherian modüldür.

"T.Y.Lam - A first course in Noncommutative Rings kitabında propostion 1.20 olarak yer alıyor." 

Bu önermenin ispatında yararlı olacağını düşündüğüm ve ispatladığım 2 tane önerme var:

1. Eğer $M$ bir noetherian modül ise ancak ve ancak $M$'nin her alt modülü sonlu üreteçlidir.
2. Eğer $M$ bir noetherian modül ise $M$'nin alt modüllerinden oluşan ve boş olmayan her kümenin maximal elemanı vardır.

Ayrıca kitapta bu önermenin daha general hali olan şu önerme verilmiş: 

      $N$, $M$'nin bir alt modülü olsun. O zaman, eğer $M$ bir noetherian modül ise ancak ve ancak $N$ ve $M/N$ de noetherian dır.

Comments

Belki şu işine yarayabilir: $A\oplus B$, $M\oplus N$'nin altmodulu ise $A$, $M$'nin altmodulu ve $B$ de $N$'nin altmoduludur.

---

@Ozgür Ama her altmodül bu şekilde değildir. Bu dediğin ters tarafı göstermek için daha yararlı olur gibi.  

@H.B. Ozcan: Benim önerim şu. $X\subset Y$ ise (bunlar modül, halka ideal, grup normal altgrup olabilir) $X/Y$'nin altmodülleri (idealleri, altgrupları vs) ile $Y$'nin $X$'i içeren altmodülleri arasında içerme ilişkisininkoruyan bir eşleme vardır. Benim bildiğim bu pek faydalıdır bu gibi ispatlarda.

---

Ah, tamam, doğru, anladım.