Question

{0_R} ≠ A , R halkasının ve {0_S} ≠ B, S halkasının ideali olsun. A maksimal ideal ise A x S kümesinin maksimal ideal olup olmadığını gösteriniz.

Answer 1

$R = S = \mathbb{Z}$ olsun. $A$'yi ben vereyim: $\mathbb{2Z}$. $B$'yi sen bul. Oyle bir sey bul ki $2\mathbb{Z} \times B \subsetneq 2\mathbb{Z} \times 2\mathbb{Z}$ olsun mesela.

Handan Hanim'in yorumu uzerine ekleme: $\mathbb{Z}$ halkasinin idealleri nelerdir? Bir altkumenin ideal olabilmesi icin iki sart gerekli: Birincisi altgrup yapisina sahip olmasi, ikincisi de $R$'nin elemanlariyla (sagdan ve soldan) carpma altinda kapali olmasi. ($\mathbb{Z}$ degismeli bir halka oldugu icin sagdan ve soldan carpma arasinda fark yok.). $\mathbb{Z}$'nin butun alt gruplari $n\mathbb{Z}$ seklindedir. Yani elimizdeki ideal adaylari, $n\mathbb{Z}$'ler. Bunlardan hangileri ideal olusturur? Bunlardan hangileri tamsayilar ile carpma altinda kapalidir? Herhangi bir $n \in \mathbb{N}$ icin, $a \in n\mathbb{Z}$ alalim. Bir de $r \in \mathbb{Z}$ alalim. $ra \in n\mathbb{Z}$ midir? Cevap evet. (Neden? Cunku $a = n b \in n \mathbb{Z}$ ise $ra = rnb = nrb = n(rb) \in n\mathbb{Z}$). Demek ki, $\mathbb{Z}$'nin idealleri $n\mathbb{Z}$ seklinde. Yani, $B$'nin olabilecegi idealler $n\mathbb{Z}$ seklinde. Ama eger $B \subset 2\mathbb{Z}$ istiyorsan, o zaman $n$'yi guzel secmen gerek. Mesela $3\mathbb{Z} \subset 2\mathbb{Z}$ dogru degil. Ama $9\mathbb{Z} \subset 3\mathbb{Z}$ dogru.

Comments

Kac tane halka ornegi biliyorsun, bildigin en basit halka ornegi ne? Boyle bir soru gordugun zaman, ya da aslinda herhangi bir soru gordugun zaman, nasil saldirabilirsin soruya? Mesela bildigin birkac basit ornek uzerinde denemeler yapmak iyi bir tercih olabilir. Bazen, o denemeleri yaparken bir kanit bulursun, bazen de sans eseri bir karsi ornek bulursun. Bazen belki de hicbir sey bulamazsin ama yine de birkac ornek gormus olursun.

---

Olası $B$ leri de yazsanız daha güzel olur diye düşünüyorum. Tabii genel formatta.

---

Yorum bana miydi, soru sahibine miydi?

---

Sizin için demiştim Özgür bey.