Metod 1:
$$e^{-x^2}$$ çift fonksiyon olduğundan,
$$2\displaystyle\int_0^\infty e^{-x^2}dx=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx$$
$$I=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx$$ diye tanımlayalım
$$I^2=\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx\right)\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2} dy\right)$$
Polar koordinatlara çevirirsek;
$$I^2=\displaystyle\int_0^{+2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2}r\;\;dr\;d\theta=2\pi\int_0^\infty e^{-r^2}r\;dr$$olur.
$u=r^2$ dönüşümü yaparsak;
$$I^2=\pi\int_0^\infty e^{-u}du=\pi$$
$$I=\sqrt \pi$$
Dolayısıyla integral;
$$2\displaystyle\int_0^\infty e^{-x^2}dx=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx=\pi$$$$\to$$$$\displaystyle\int_0^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt\pi/2$$