Plank integrali ve karacisim ışıması nedir ? Nasıl hesaplanır?Ana mantık nedir?

Question

 Siyah cismin ısısal ışınım gücü:

$$\Psi(\lambda,T)=\dfrac{2\pi c^2h}{\lambda^5}\dfrac{1}{e^{\frac{hc}{nT\lambda}}-1}$$

Birim alan başına düşen radyasyon miktarı:

$$S=\dfrac{\omega A\pi S}{m^2}=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\Psi(\lambda,T)d\lambda$$

Ve gerekli düzenlemeler sonrasında ısısal ışınım gücü hesabı için şu integrali çözmemiz gerek;

Radyasyon $0$'dan $\infty$'a hesaplandığından;

$$\displaystyle\int_0^\infty x^3(e^x-1)^{-1}dx\tag {*}$$



Soru 1: $(*)$ daki integralin çözümü.

Soru 2: Bu siyah cisim ışımasının tam manası ve bu integral formuna nasıl gelindiğinin açıklanması.

Soru 3: Enerjinin parçacıklar halinde gidişinin nasıl bulunulduğu.


Siyah cisim için geometrik cisim tasarımı için aşağıya tıklayınız.

http://matkafasi.com/99575/siyah-cisim-isimasi-icin-3-boyutlu-cisim-tasarimlari?show=99575#q99575

Answer 1

Yanıt 1: $\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{\pi^4}{15}$
Yanıt 2: Siyah cisim ışımasını anlayabilmek için örnek olarak yüzeyinde (gözardı edilebilecek kadar) küçük bir delik bulunan içi oyuk bir cismi düşünelim, hesabımızın kolaylaşması için bunu $L$ kenar uzunluklu bir küp kabul edelim. O zaman kübün içindeki $\vec{E}$ elektrik ve $\vec{B}$ manyetik alanlarını meydana getiren vektör potansiyeli $\vec{A}$ dalga denkleminin bir çözümüdür.
Yani Coulomb ayarını $\nabla\cdot \vec{A}=0$ seçersek ve oyuk içinde bir yük olmadığını kabul edersek (her yerde skalar potensiyal $\phi=0$).

$$\begin{equation} \vec{B}=\nabla \times \vec{A},\ \ \ \ \ \vec{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial \vec{A}}{\partial t} \end{equation}$$
 ve dalga denklemi
$$\begin{equation} \nabla^2 \vec{A}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2}=0. \end{equation}$$ Fourier dönüşümü kullanarak dalga denkleminin genel çözümü bulunur(biraz uğraşmak gerekiyor):
$c_{\vec{k},\alpha}(0)$ herhangi gerçel Fourier katsayıları($*$'lısı karmaşık eşleniği), $\omega=\vert \vec{k}\vert c$ ve $\epsilon^{(1)}$,$\epsilon^{(2)}$, $\vec{k}/\vert \vec{k}\vert$ birbirlerine dik birim vektörler olmak üzere
$$\begin{equation} \vec{A}(\vec{k},t)=\frac{1}{\sqrt{L^3}}\sum_{\vec{k}} \sum_{\alpha=1,2}(c_{\vec{k},\alpha}(0)\vec{\epsilon}^{(\alpha)} e^{i\vec{k}\cdot\vec{x}-\omega t}+c^*_{\vec{k},\alpha}(0)\vec{\epsilon}^{(\alpha)} e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}+\omega t}) \end{equation}$$ ve dahası
 $\vec{k}^2=k_x^2+k_y^2+k_z^2=\frac{\pi}{L}(l^2+m^2+s^2)$ $l,m,s=\pm 1,\pm 2,...$
Bunun anlamı oyukta (kutuplanma vektörleri $\vec{\epsilon}^{(\alpha)}$ tarafından verilen) iki temel eksende salınım yapan farklı şiddet ve frekanslarda enine dalgaların var olmasıdır.
 Şimdi sistemin Hamiltonyenini bulabiliriz:
$$\begin{equation} H=\frac{1}{2}\int (\vert \vec{B}\vert^2+\vert \vec{E}\vert^2)d^3 x=\frac{1}{2}\int (\vert \nabla \times \vec{A}\vert^2+\vert \frac{1}{c}(\frac{\partial \vec{A}}{\partial t})\vert^2)d^3 x \end{equation}$$ Sistemin Hamiltonyenini hesapladığımızda bu ışıma alanının
$$\begin{equation} =...=\sum_{\vec{k}}\sum_\alpha 2 (\frac{\omega}{c})^2 c^{*}_{\vec{k},\alpha}(t) c_{\vec{k},\alpha}(t) \end{equation}$$
burada $c_{\vec{k},\alpha}(t)=c_{\vec{k},\alpha}(0) e^{-i\omega t}$, $c^*_{\vec{k},\alpha}(t)=c^*_{\vec{k},\alpha}(0) e^{i\omega t}$
Hamilton mekaniği kuramına göre  mevcut değişkenlerden istediğimiz gibi tanımladığımız yeni değişkenleri Hamilton denklemlerini
$$\begin{equation} \frac{\partial H}{\partial Q_{\vec{k},\alpha}}=-\dot{P}_{\vec{k},\alpha} ,\ \ \  \frac{\partial H}{\partial P_{\vec{k},\alpha}}=\dot{Q}_{\vec{k},\alpha} \end{equation}$$
 geçerli kıldıkları sürece(kanonik) sistemin faz uzayının koordinat ve devinirliği olarak kabul edebiliriz. Böylece 
$Q_{k,\alpha}:=\frac{1}{c}(c_{k,\alpha}+c_{k,\alpha}^*)$
 $P_{k,\alpha}:=-\frac{i\omega}{c}(c_{k,\alpha}-c^*_{k,\alpha})$ ile
 $H=...=\sum_k \sum_\alpha \frac{1}{2}(P_{k,\alpha}^2+\omega^2 Q_{k,\alpha}^2)$ yazabiliriz.
 Bu da demek ki siyah cisim ışıma alanı; her biri $k$,$\alpha$ ve Fourier katsayılarının dik doğrusal bileşimleriyle ilişkili ama birbirinden bağımsız çok sayıda harmonik salıngaç olarak görülebilir. Hamiltonyene eşbölüşüm teorisini uygulayarak her salıngaç için ortalama enerji $\bar{E}=k_B T$'yi(*) ($T$ burada cismin ısısal dengede olduğu ortamın sıcaklığı,$k_B$ Boltzmann sabiti) bulduğumuzda toplam enerji yoğunluğunu hesaplayabiliriz. Enerji yoğunluğu $u(\nu,T)$ için  bir [$\nu$,$\nu+d\nu$] frekans aralığında kaç salınım kipi  olduğunu bulmamız ve bunu ortalama enerjiyle çarpmamız gerekiyor. $k=2\pi\nu/c$ olduğundan $k,k+dk$ aralığındaki örgü noktalarını saymamız yeterli olacak. Sadece pozitif $l,m,s$ değerleriyle ilgilendiğimiz için $p=\sqrt{l^2+m^2+s^2}$ bir kürenin $1/8$'ine bakıyoruz. $dp$ aralığındaki hacim $4\pi p^2$ yani kiplerin sayısı $$\begin{equation} dN(p)=N(p)dp=\frac{1}{8}4\pi p^2 dp \end{equation}$$
 $k=\pi p/L$ ve $dk=\pi dp/L$ olduğundan da
  $$\begin{equation} dN(p)=\frac{L^3}{2\pi^2}k^2dk=\frac{4\pi \nu^2 L^3}{c^3}d\nu \end{equation}$$
 Son olarak iki kutuplanmayı da ekleyerek
  $$\begin{equation} dN=\frac{8\pi \nu^2 L^3}{c^3}d\nu \end{equation}$$
ya da birim hacimde ($\times 1/V=\times 1/L^3$)
$$\begin{equation} dN=\frac{8\pi \nu^2}{c^3}d\nu \end{equation}$$
Eğer her frekans salınım yapılabileceğini düşünürsek
$\Rightarrow u=\int_0^\infty u(\nu,T)d\nu=\int_0^\infty\frac{8\pi \nu^2}{c^3} k_B Td\nu\rightarrow\infty$(yüksek frekanslarda enerji hep daha da büyüyor=Rayleigh ve Jeans'in morötesi felaketi). Tabiki de yukarıda görüldüğü gibi böyle birşey ölçülmemiş(sol tarafı $\nu^2$'ye ama az çok uyuyor). Bunun üzerine Planck 1901'de (*)'deki gibi salıngaçların her enerji değerini alamayacığını aksine sadece  bir niceliğin belli katları kadar (kuantumlanmış) olabileceğini tam büyüklük $E_n=nh\nu,n\in\mathbb{N}$ varsaydı ($h$ katsayısının değerini tabiki bilmiyordu). Bunun dışında ama herşey klasik, ısısal dengede $E$ olan bir durumu bulma olasılığı Boltzmann dağılımıyla verilmiş sadece sahip olunabilecek enerji değerleri $E_n$ aralıklı
$$\begin{equation} P(E)=\frac{e^{-\frac{E}{k_B T}}}{\sum_{n=0}^\infty e^{-\frac{E}{k_B T}}} \end{equation}$$
Ortalama enerji o zaman
$$\begin{equation} \bar{E}=\sum_{n=0}^\infty E_n P(n)\Rightarrow \bar{E}_\nu=\frac{\sum_{n=0}^\infty n h\nu e^{-nh\nu/(k_B T)}}{\sum_{n=0}^\infty e^{-nh\nu/(k_B T)}} \end{equation}$$
Şimdi yeni bir $x:=e^{-h\nu/(k_B T)}$ değişkenine
$\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}$ ve $\sum_{n=0}^\infty n x^(n-1)=\frac{1}{(1-x)^2}$ denkliklerini kullanarak
$$\begin{equation} \bar{E}_\nu=h\nu \frac{\sum_{n=0}^\infty n x^n}{\sum_{n=0}^\infty  x^n}=\frac{h\nu x}{1-x}=\frac{h\nu}{e^{h\nu/(k_B T)}-1} \end{equation}$$ eğer olası enerji değerleri sürekli olursa, yani aralık katsayısı $h$ çok küçülürse: $lim_{h\rightarrow 0}\bar{E}_\nu=k_B T$  (klasik)
Bir frekans için enerji yoğunluğu $ud\nu=\frac{8\pi \nu^2}{c^3} \frac{h\nu}{e^{h\nu/(k_B T)}-1}d\nu$
$\Rightarrow u=\int_0^\infty \frac{8\pi \nu^2}{c^3} \frac{h\nu}{e^{h\nu/(k_B T)}-1}d\nu$
Yine integrali çözmek için yeni bir değişken tanımlayalım
$$\begin{equation} x:=h\nu/(k_B T),\ \ \ dx=(h/k_B T) d\nu \end{equation}$$
$$\begin{equation} u=\frac{8\pi h}{c^3}(\frac{k_B T}{h})^4\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1} dx \end{equation}$$
Birinci sorunun cevabını kullanarak şimdi siyah cisim ışımasının toplam enerji yoğunluğu için Stefan-Boltzmann yasasını türetmiş oluyoruz:
$$\begin{equation} u=(\frac{8\pi^5 k_B^4}{15 c^3 h^3})T^4 \end{equation}$$
Aynı şekilde siyah cismin belli bir $\lambda$ dalga boyundaki ışınım gücünü hesaplamak istersek $c=\lambda \nu$'yü ($d\nu=-\frac{c}{\lambda^2}d\lambda$)
 ve $\Psi =\frac{c}{4}ud\lambda$ (bu eşitliğin açıklaması burada var) kullanıp
$\Psi=\frac{c}{4}\frac{8\pi \nu^2}{c^3} \frac{h\nu}{e^{h\nu/(k_B T)}-1}\frac{c}{\lambda^2}=\frac{2\pi c^2 h}{ \lambda^5}\frac{1}{e^{hc/(\lambda k_B T)}-1}$
Yanıt 3: Fotoelektrik etki $E=h\nu$ kuramsal(1920 Nobel ödülü) olarak ilk A. Einstein: Ueber einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt. In: Annalen der Physik. 322, Nr. 6, 1905, S. 132–148. doi:10.1002/andp.19053220607. Planck sabiti $h$'nin ölçümü R. Millikan: A Direct Photoelectric Determination of Planck's "h". In: Physical Review. 7, Nr. 3, March 1916, 355–388. doi:10.1103/PhysRev.7.355.