Açık komşuluk ve komşuluk arasındaki ilişki

Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay, $x,y\in X$  ve $U,N \subseteq X$  olmak üzere

$x$'in açık komşuluklar ailesi:$$\mathcal{U}(x)=\{U| x\in U\in\tau\}$$ $x$'in komşuluklar ailesi:$$\mathcal{N}(x)=\{N|(\exists U\in\mathcal{U}(x)) (U\subseteq N)\}$$

şeklinde tanımlandığına göre;

" $\mathcal{U}(x)=\mathcal{U}(y)\Rightarrow\mathcal{N}(x)=\mathcal{N}(y)$ " önermesi doğru mudur?

" $\mathcal{N}(x)=\mathcal{N}(y)\Rightarrow\mathcal{U}(x)=\mathcal{U}(y)$ " önermesi doğru mudur?

• iki önermenin doğru olmadığına dair ters örnek düşündüm fakat bulamadım. Eğer ikisi de doğruysa ispatında işime yarayacak bir ipucu verirseniz veya aksine örnek olabilecek bir ipucu çok yardımcı olmuş olursunuz. Yardımcı olacak hocalarıma şimdiden teşekkürler.
  

Answer 1

$U(x)=U(y)$ olduğunu varsayalım.

$N \in N(x)$ olsun. Bu şu demek: $x$'i içeren ve $N$'nin içinde yer alan bir $U$ açık kümesi var. Ama varsayimdan dolayı bu $U$ kümesi $y$'yi de içeriyor. Demek ki $N \in N(y)$. Yani, $N(x) \subseteq N(y)$. Simetriden dolayı $N(y) \subseteq N(x)$. Dolayısıyla eşitlik var. 

Ikincisi için de $U(x)\neq U(y)$ olduğunu varsayalım.

Genelligi bozmadan $x$'i içeren ama $y$'yi içermeyen bir $U$ açık kümesi olduğunu düşünelim. Bu $U$ kümesi $N(x)$'de yer alır. Ama $N(y)$'de yer almaz. Demek ki $N(x) \neq N(y)$.