Açık komşuluk ve komşuluk arasındaki ilişki

0 beğenilme 0 beğenilmeme
88 kez görüntülendi

$(X,\tau)$ topolojik uzay, $x,y\in X$  ve $U,N \subseteq X$  olmak üzere

$x$'in açık komşuluklar ailesi:$$\mathcal{U}(x)=\{U| x\in U\in\tau\}$$ $x$'in komşuluklar ailesi:$$\mathcal{N}(x)=\{N|(\exists U\in\mathcal{U}(x)) (U\subseteq N)\}$$

şeklinde tanımlandığına göre;

" $\mathcal{U}(x)=\mathcal{U}(y)\Rightarrow\mathcal{N}(x)=\mathcal{N}(y)$ " önermesi doğru mudur?

" $\mathcal{N}(x)=\mathcal{N}(y)\Rightarrow\mathcal{U}(x)=\mathcal{U}(y)$ " önermesi doğru mudur?

  • iki önermenin doğru olmadığına dair ters örnek düşündüm fakat bulamadım. Eğer ikisi de doğruysa ispatında işime yarayacak bir ipucu verirseniz veya aksine örnek olabilecek bir ipucu çok yardımcı olmuş olursunuz. Yardımcı olacak hocalarıma şimdiden teşekkürler.
11, Ocak, 2017 Lisans Matematik kategorisinde mervekendince (509 puan) tarafından  soruldu
11, Ocak, 2017 mervekendince tarafından düzenlendi

1 cevap

3 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$U(x)=U(y)$ olduğunu varsayalım.

$N \in N(x)$ olsun. Bu şu demek: $x$'i içeren ve $N$'nin içinde yer alan bir $U$ açık kümesi var. Ama varsayimdan dolayı bu $U$ kümesi $y$'yi de içeriyor. Demek ki $N \in N(y)$. Yani, $N(x) \subseteq N(y)$. Simetriden dolayı $N(y) \subseteq N(x)$. Dolayısıyla eşitlik var. 

Ikincisi için de $U(x)\neq U(y)$ olduğunu varsayalım.

Genelligi bozmadan $x$'i içeren ama $y$'yi içermeyen bir $U$ açık kümesi olduğunu düşünelim. Bu $U$ kümesi $N(x)$'de yer alır. Ama $N(y)$'de yer almaz. Demek ki $N(x) \neq N(y)$.

11, Ocak, 2017 Ozgur (2,145 puan) tarafından  cevaplandı
11, Ocak, 2017 mervekendince tarafından seçilmiş
...