Karmaşık fonksiyonlarda normlu ifadelerin türevi

2 beğenilme 0 beğenilmeme
50 kez görüntülendi

$f'(z)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}$ ,  $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$   $(z=x+iy)$   olmak üzere

$f(z)=|z|\Rightarrow f'(z)=?$

Denemelerim:

  • Fonksiyonda $z=x+iy$ ve $h=a+ib$ yazarak modül dışına çıkardığımda
$$\lim\limits_{a,b\rightarrow0} \frac{\sqrt{(x+a)^2+(y+b)^2}-\sqrt{x^2+y^2}}{a+ib}$$
    sonucunu elde ettim ancak sonrası için bir toparlama yapamadım.

  • $z.\overline{z}=|z|^2$ eşitliğini kullanmayı denedim ancak bu sefer de ifadeyi $\bigg(\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{\sqrt{(z+h)(\overline{z+h})}-\sqrt{z.\overline{z}}}{h}\bigg)$ açtığımda daha da karmaşık bir hal aldı.
Yardımcı olabilecek hocalarıma şimdiden teşekkür ediyorum.
4, Ocak, 2017 Lisans Matematik kategorisinde mervekendince (509 puan) tarafından  soruldu
5, Ocak, 2017 mervekendince tarafından düzenlendi

Türevlenebilme için Cauchy-Riemann koşullarını bilyor musunuz?

Biliyorum ama derste C-R koşullarının tanımı bu sorudan sonra yapıldı. Yani bu sorunun C-R koşulları kullanılmadan çözümü isteniyor.

$\lim\limits_{a,b\rightarrow0} \frac{\sqrt{(x+a)^2+(y+b)^2}-\sqrt{x^2+y^2}}{a+ib}$ limitini, önce  $a=0$ iken ve daha sonra da $b=0$ iken (yani reel eksen ve sanal eksen üzerinden 0 a yaklaşırken) ayrı ayrı hesaplamayı bir dene. Limit varsa ikisi aynı sonucu vermeli.

Teşekkür ederim hocam ayrı ayrı hesapladığımda sonuca ulaştım.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$f'(z)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{|z+h|-|z|}{h}$       $h=a+ib$   olmak üzere


  • $h=a$  iken;    
$$\lim\limits_{a\rightarrow 0}\frac{|z+a|-|z|}{a}$$
$$=\lim\limits_{a\rightarrow0} \frac{\sqrt{(x+a)^2+y^2}-\sqrt{x^2+y^2}}{a}$$
$$=\lim\limits_{a\rightarrow0} \frac{(x+a)^2+y^2-(x^2+y^2)}{a.\big(\sqrt{(x+a)^2+y^2}+\sqrt{x^2+y^2}\big)}$$
$$=\lim\limits_{a\rightarrow0} \frac{x^2+2ax+a^2-x^2}{a.\big(\sqrt{(x+a)^2+y^2}+\sqrt{x^2+y^2}\big)}$$
$$=\lim\limits_{a\rightarrow0} \frac{a.(2x+a)}{a.\big(\sqrt{(x+a)^2+y^2}+\sqrt{x^2+y^2}\big)}$$
$$=\lim\limits_{a\rightarrow0} \frac{2x+a}{\sqrt{(x+a)^2+y^2}+\sqrt{x^2+y^2}}$$

$$=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$$


  • $h=ib$  iken;

$$\lim\limits_{b\rightarrow 0}\frac{|z+ib|-|z|}{ib}$$
$$=\lim\limits_{b\rightarrow0} \frac{\sqrt{x^2+(y+b)^2}-\sqrt{x^2+y^2}}{ib}$$
$$=\lim\limits_{b\rightarrow0} \frac{x^2+(y+b)^2-(x^2+y^2)}{ib.\big(\sqrt{x^2+(y+b)^2}+\sqrt{x^2+y^2}\big)}$$
$$=\lim\limits_{b\rightarrow0} \frac{y^2+2by+b^2-y^2}{ib.\big(\sqrt{(x+a)^2+y^2}+\sqrt{x^2+y^2}\big)}$$

$$=\lim\limits_{b\rightarrow0} \frac{b.(2y+b)}{ib.\big(\sqrt{(x+a)^2+y^2}+\sqrt{x^2+y^2}\big)}$$
$$=\lim\limits_{b\rightarrow0} \frac{2y+b}{i.\big(\sqrt{(x+a)^2+y^2}+\sqrt{x^2+y^2}\big)}$$

$$=\frac{2y}{2i\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{y}{i\sqrt{x^2+y^2}}$$


$h=a$ ile $h=b$ birbirinden farklı $\bigg(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\not=\frac{y}{i\sqrt{x^2+y^2}}\bigg)$  olduğu için $f$ fonksiyonu türevlenebilir değildir.


5, Ocak, 2017 mervekendince (509 puan) tarafından  cevaplandı
...