Site kurallarında bugüne kadar olan kurallar bütün olarak "Soru Sor" sayfasında maddeler halinde yazılmıştır.Ortaöğretim kategorisindeki düzensizlikler bu sayede giderilmeye çalışılacaktır, sorulacak sorular çok nitelikli ve çok iyi açıklamalı olmalı, yoksa kaldırıl(abil)ir.

Şimdi Sor!

İletişim İçin;

Anıl Berkcan Türker

E.Sercan Yılmaz

Çağan Özdemir

Birbirine bağlı serilerde eşitsizlik ispatları.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
30 kez görüntülendi



$x_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n$

$z_n=\left(1-\dfrac1n\right)^n$

$y_n=\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}$

Soru 1:

$\forall \; 0\neq n\in\mathbb N \quad$  için;

$x_n<x_{n+1}$   ve    $z_n<z_{n+1}$ 

olduğunu gösteriniz. 


Soru 2:

Üstteki sonuçtan;

$\forall \; 0\neq n\in\mathbb N \quad$  için;

$y_{n+1}<y_{n}$   olduğunu ve $x_n<y_n<x_{n+1}$  olduğunu gösteriniz.  


Ek soru 1:.
  
$n>0$   ve   $x>0$  için, $\boxed{\boxed{ \left(1+\dfrac x {n+1}\right)^{n+1}>\left(1+\dfrac x n\right)^n}}$   olduğunu gösteriniz.


Ek soru 2:.

$k>0$, $n\in\mathbb N$  olsun;

$\boxed{\boxed{ \left(1+\dfrac{k}{n}\right)^n\le \left(1+\dfrac{k}{kn}\right)^{kn}}}$   olduğunu gösterelim.


Ek soru 3:.

Yukardakinin biraz farklısı;

$k>0$, $n\in\mathbb N$  olsun;

$\boxed{\boxed{ \left(1+\dfrac{k}{n}\right)^n\le \left[\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}\right]^k}}$  olduğunu gösterelim




Bilgiler;

Binomal açılım;


$(x+y)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom n k x^n y^{n-k}$

Bernoulli eşitsizliği;

$n>1$  ve tam sayı , $x\neq0$   ve  $1+x>0$   için daima   $(1+x)^n>1+nx$

ve

http://matkafasi.com/100701/serilerde-esitsizlikler-farkli-metodlar-%24-n-1-x-n-1-le-nx-n-1-%24

6, Aralık, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Anıl (6,950 puan) tarafından  soruldu

(1) nolu soru için geometrik ortalamanın aritmetik ortalamadan küçük eşit olduğu bilgisini kullanırsak

$$\sqrt[n+1]{\underset{n \text{ tane}}{1\cdot\underbrace{\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)\ldots \left(1+\frac{1}{n}\right)}}}\leq \frac{1+n\cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)}{n+1}=\frac{n+2}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}$$

$$\Rightarrow$$

$$\left(1+\frac1n\right)^n\leq \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}$$

elde edilir.

...