Direkt Toplam

Question

$I$ ve $J$ ayrık göstergeç kümeleri, $K=I \cup J$ olsun. $(G_k)_k$ bir grup ailesi olsun.

$\oplus_K G_k$ $\simeq$ ($\oplus_I G_i$) $\oplus$ ($\oplus_J G_j$)

izomorfisini gösterin.

Not: Kanıtın tamamını yazmak yerine ipucu vermeniz çok daha yardımcı olur. 

Comments

Direk toplamin tanimi nedir?

---

$Tanım1:$ $I$ bir küme olsun. 

$\oplus_I G_i$ $:=$ {${ (g_i)_i \in \prod\nolimits_{I}G_i}:$ {${ i \in I : g_i \neq 1 : i sonlu}$}} şeklinde tanımlayalım.

$Tanım2:$ Grubun çarpımını $(g_i)_i (h_i)_i = (g_i h_i)_i$ şeklinde tanımlayalım.

$Tanım3:$ $G= \oplus_I G_i$ ve her $j \in J$ için:

$H_j =$  {$(g_i)_i \in G :  \forall i \in I  için eğer (i \neq j) ise (g_i) = 1$}

olsun.

Answer 1

 $\displaystyle\prod_{i\in I}G_i=\{ f\ |\  f:I\to \bigcup_{i\in I}G_i,\ (\text{her } i\in I\text{ için })f(i)\in G_i\}$ olarak tanımlandığına göre.

$F:I\cup J\to \bigcup_{k\in I\cup J}G_k$  ise $F\mid_I$ (kısıtlama) ve $F\mid_J$  nin, sırasıyla, $\prod_{i\in I}G_i$ ve $\prod_{j\in J}G_j$ nin elemanları olduğunu göstermeyi dene . Bir de bunun tersinin yapılabileceğini kontrol et. Bu şekilde $\displaystyle\prod_{i\in I}G_i\oplus \prod_{j\in J}G_j$ arasında bir izomorfizma kurabilirsin. Daha sonra bu izomorfizmayı $(\oplus_{i\in I}G_i)\oplus( \oplus_{j\in J}G_j)$ ye kısıtladığında aradığın izomorfizma karşına çıkabilir. (Veya $\prod_{i\in I} G_i$ adımını atlayıp, aynı fikri kullanarak,  doğrudan da yapabilirsin)

Comments

Kısıtlamanın tanımı nedir?

---

Bir fonksiyonun, tanım kümesinin bir alt kümesinde tanımlı olarak düşünülmesi (restriction).

---

Doğan Hocam, şu kanıt yeterli midir? :

$ k_1 , . . . , k_n \in K, (G_k)_k \in \oplus_K G_k $'nın 1'den farklı göstergeçleri olsun. Varsayımı kullanarak, $N \leq n$ için, $ k_1, . . . ,k_n \in I$ ve $k_{N+1}, . . . , k_n \in J$ olduğunu varsayabiliriz. 

Bu durumda $k_1, . . . , k_N$'inci koordinatları 1'den farklı olan elemana $ (G_i)_i  \in \oplus_I G_i$ ; $k_{N+1}, . . . , k_n$'inci koordinatları 1'den farklı olan elemana $ (G_j)_j  \in \oplus_J G_j$ dersek

                                       $ \varphi((G_k)_k) = (G_i)_i \oplus (G_j)_j$

dönüşümü bir homomorfidir ve bize aradığımız izomorfizmayı verir.Nitekim $ \varphi$ birebirdir çünkü $I$ ve $J$ ayrık kümeler. Ayrıca $Ker\varphi = 1$ eşitliği de bariz.