Direkt Toplam

0 beğenilme 0 beğenilmeme
70 kez görüntülendi

$I$ ve $J$ ayrık göstergeç kümeleri, $K=I \cup J$ olsun. $(G_k)_k$ bir grup ailesi olsun.

$\oplus_K G_k$ $\simeq$ ($\oplus_I G_i$) $\oplus$ ($\oplus_J G_j$)

izomorfisini gösterin.

Not: Kanıtın tamamını yazmak yerine ipucu vermeniz çok daha yardımcı olur. 

12, Mayıs, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Cagan Ozdemir (595 puan) tarafından  soruldu
Direk toplamin tanimi nedir?

$Tanım1:$ $I$ bir küme olsun. 

$\oplus_I G_i$ $:=$ {${ (g_i)_i \in \prod\nolimits_{I}G_i}:$ {${ i \in I : g_i \neq 1 : i sonlu}$}} şeklinde tanımlayalım.

$Tanım2:$ Grubun çarpımını $(g_i)_i (h_i)_i = (g_i h_i)_i$ şeklinde tanımlayalım.

$Tanım3:$ $G= \oplus_I G_i$ ve her $j \in J$ için:

$H_j =$  {$(g_i)_i \in G :  \forall i \in I  için eğer (i \neq j) ise (g_i) = 1$}

olsun.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

 $\displaystyle\prod_{i\in I}G_i=\{ f\ |\  f:I\to \bigcup_{i\in I}G_i,\ (\text{her } i\in I\text{ için })f(i)\in G_i\}$ olarak tanımlandığına göre.

$F:I\cup J\to \bigcup_{k\in I\cup J}G_k$  ise $F\mid_I$ (kısıtlama) ve $F\mid_J$  nin, sırasıyla, $\prod_{i\in I}G_i$ ve $\prod_{j\in J}G_j$ nin elemanları olduğunu göstermeyi dene . Bir de bunun tersinin yapılabileceğini kontrol et. Bu şekilde $\displaystyle\prod_{i\in I}G_i\oplus \prod_{j\in J}G_j$ arasında bir izomorfizma kurabilirsin. Daha sonra bu izomorfizmayı $(\oplus_{i\in I}G_i)\oplus( \oplus_{j\in J}G_j)$ ye kısıtladığında aradığın izomorfizma karşına çıkabilir. (Veya $\prod_{i\in I} G_i$ adımını atlayıp, aynı fikri kullanarak,  doğrudan da yapabilirsin)

14, Mayıs, 2015 DoganDonmez (3,158 puan) tarafından  cevaplandı

Kısıtlamanın tanımı nedir?

Bir fonksiyonun, tanım kümesinin bir alt kümesinde tanımlı olarak düşünülmesi (restriction).

Doğan Hocam, şu kanıt yeterli midir? :

$ k_1 , . . . , k_n \in K, (G_k)_k \in \oplus_K G_k $'nın 1'den farklı göstergeçleri olsun. Varsayımı kullanarak, $N \leq n$ için, $ k_1, . . . ,k_n \in I$ ve $k_{N+1}, . . . , k_n \in J$ olduğunu varsayabiliriz. 

Bu durumda $k_1, . . . , k_N$'inci koordinatları 1'den farklı olan elemana $ (G_i)_i  \in \oplus_I G_i$ ; $k_{N+1}, . . . , k_n$'inci koordinatları 1'den farklı olan elemana $ (G_j)_j  \in \oplus_J G_j$ dersek

                                       $ \varphi((G_k)_k) = (G_i)_i \oplus (G_j)_j$

dönüşümü bir homomorfidir ve bize aradığımız izomorfizmayı verir.Nitekim $ \varphi$ birebirdir çünkü $I$ ve $J$ ayrık kümeler. Ayrıca $Ker\varphi = 1$ eşitliği de bariz. 

...