Iraksayan seriler'in ıraksama formâlliği.

Question

Dizilerin ıraksamasını nasıl anlıyoruz? Diziyi yazıyoruz belli sonlu sayıda terimi önemli olmadan, her $n$  dogal sayısı için  $n>N$ olacak şekilde $N$ sayılsı bulabildiğimiz sürece ,dizi bir reel sayıya yaklaşmıyorsa ona ıraksak dizi diyoruz.Peki bu ıraksaklığı herzaman bu "epsilon-delta" gibi bir tarz ile çözebilir miyiz? Çözemediğimiz zamanlarda dizinin ıraksadığını hangi yöntemlerle belirtiriz, "bariz" kelmesinden söz edebilir miyiz?


$(a_n)_{n\in\mathbb N^+}=(-1)^{n+1}=-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,........,-1,1,.....$

Mesela burada tam olarak nasıl ıraksak derız? Bir matematik eğitmeni bu soruya nasıl cevap verir?

Veya;

Bu

$(a_n)_{n\in\mathbb N^+}=1+(-1)^n$

ve

$(a_n)_{n\in\mathbb N^+}=(-1)^n\left(1-\dfrac1 n \right)$

Yani demek istediğim;

Bir cisimi alıp bırakalım o cisim yere düşecektir ancak, bir daha kaldırdığımızda tekrar yere düşceginden emin olamayız değil mi?

Pekiiii, $-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,........,-1,1,.....$  bu dizide  hep $-1$ ve $1$  geldiğini biliyoruz ama neden ya $-1$'e yada $1$ 'e yakınsamadıgını söyleyebiliyoruz ki? Zaten buyüzden mi yakınsamadıgını diyoruz?

Comments

Soruda elle tutulur bir şey yok gibi ancak, umarım anlatabildim.

---

Sercan ziyadesiyle açıklama yapmış. İlave olarak ben de sana tanımı formel olarak yazayım Anıl.

Tanım:  $\langle a_n\rangle\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ ve $a\in\mathbb{R}$ olmak üzere

$$a_n\to a:\Leftrightarrow (\forall \epsilon>0)(\exists N\in\mathbb{N})(\forall n>N)(|a_n-a|<\epsilon)$$

Tam formel yazmak istersek şöyle yaparız:

$$\left(\langle a_n\rangle\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\right)\left(a\in\mathbb{R}\right)$$

$$:\Rightarrow$$

$$a_n\to a:\Leftrightarrow (\forall \epsilon>0)(\exists N\in\mathbb{N})(\forall n>N)(|a_n-a|<\epsilon)$$

Yani bir gerçel sayı dizisinin bir $a$ gerçel sayısına yakınsaması demek 

$$(\forall \epsilon>0)(\exists N\in\mathbb{N})(\forall n>N)(|a_n-a|<\epsilon)$$ önermesinin doğru olması anlamına geliyormuş. Bu önerme doğru olmadığında da diziye ıraksak diyoruz.

---

Çok teşekkürler hocam, $\langle a_n\rangle\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$  bu olmadan da anlıyorum ancak burada tam kastedilen neydi?

---

$$\mathbb{R}^{\mathbb{N}}:=\{f|f:\mathbb{N}\to\mathbb{R} \text{ fonksiyon}\}$$

Answer 1

Tanim: $\epsilon>0$ verilsin. Her $n>N$ tam sayilari icin $$|a_n-L|<\epsilon$$ sartini saglayan bir $N$ tam sayisi bulabiliyorsak $$\lim\limits_{n\to\infty} a_n=L$$ diyecegiz. Eger boyle bir $L$ gercel degeri varsa diziye yakinsak, yoksa iraksak diyecegiz.

Tanimdan dolayi dizilere yakinsak ve de iraksak deriz. Bu tanimlar neden var, ne soylerler o kisim ayri bir konu.

$$a_n=(-1)^n$$ dizisi yanar doner bir dizi. $a_n=1$ olmasi iyi birisi oldugunu ve $a_n=-1$ olmasi kotu birisi oldugunu soylesin. Simdi gelecekte sen iyi biri misin, kotu mu? Bunu bilmiyoruz. Fakat $$b_n=a_{2n}$$ olarak alarak sunu soyleriz: sen cift gunlerde iyi birisin. $$c_n=a_{2n+1}$$ alarak da tek gunlerde de kotu birisin. Kisacasi seninle iyi bir is yapmak istiyorsam benim "herhangi" bir gunde degil, cift gunlerde gelmem lazim. Burada $a_n$ dizisinin limiti yok fakat $b_n$ ve $c_n$ dizilerinin limiti var. (Bu aciklama benim icin tatmin edici degil, baskasi icin de olmayabilir).

Iyi kotu yerine ve sahis yerine sunu koyalim, bir bombanin patlama ya da patlamamasi. Mal varliginin ne kadar olmasi. Zengin olma ya da iflas etme. Sonumuz ne olacak sorusu... Bu limit tanimi bize dizinin gelecekte hangi degere yaklastigini veriyor, ne olacagi hanginda fikrimiz oluyor.

Tanim: $$s_n=\sum_{k=n_0}^na_k$$ olmak uzere $$\sum_{k=n_0}^\infty a_k :=\lim\limits_{n\to\infty}s_n$$ olarak tanimlanir.

Bu toplamin limitini de dizilerdeki limit tanimi ile buluruz. 

Comments

Gayet güzel bir cevap teşekkürler , tatmın ediciydi.