Karmaşık sayının karmaşık kuvveti olur mu?

Question

Herhangi bir karmaşık sayının karmaşık bir kuvveti olur mu? Bunun anlamı nedir? 

Örnegin: $i^2=-1$ olmak üzere $(i)^i$ nedir? 

Answer 1

Olur. Euler eşitliğini hatırlayalım: $x$ reel sayisi icin $(e)^{i.x} =cos(x)+isin(x)$ esitligi dogrudur. Bu eşitliğe baktığımızda ( bu eşitliğin doğruluğunu Taylor Serileri'nden görebiliriz) reel sayının karmaşık üst alma işlemini tanımlamış olduğumuzu fark edebiliriz. Peki gelelim şimdi senin soruna, karmaşık sayı üzeri karmaşık sayı yazılabilir mi? Bu siteyi tam kullanmayı bilemediğimden görsel olarak gösteremiyorum fakat reel sayının kompleks üstünün karmaşık düzlemde bir döndürme olduğunu görebiliriz. $e^{\pi\cdot i}$ yazarsak birim çember üzerinde 0 dan $\pi$ radyana gittiğini düşün, cevap -1 olacaktır. Bu mantıkla karmaşık sayılara da yaklaşabiliriz fakat dediğim gibi görsel kullanımına hakim olmadığım için yazarak anlatacağım. 

$i^i$neye eşittir? i'yi elde etmek için karmaşık düzlemde birim çember üzerinde $\pi/2$ gitmemiz lazım(sola doğru) 

o yüzden,

 $i=e^{(\pi/2)i}$,  $i^i={e^{\pi/2 .i}}^i=e^{\pi/2 . i . i}=e^{-\pi/2}$. cevabımız budur. Cevap bu eşitlik için  reel bir sayı çıkmıştır. 

Answer 2

Olur, ama biraz cetrefilli. Kompleks dogal ussel fonksiyon guc serileri ile

$$e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\dots$$

olarak tanimlanir. Bu guc serisi butun kompleks sayilar icin yakinsaktir, temel araclarla gostermesi oldukca kolay. Dolayisi ile herhangi bir $x \in \mathbb{C}$ icin $e^x$ ne demek biliyoruz. Simdi bir de $f(x)=e^x$ fonksiyonunun tersi olsa, her sey cok guzel olur. Mesela o fonksiyonun adi, reellerde bildigimiz gibi $\ln x$ olsun. Bu durumda herhangi iki kompleks sayi $x$ ve $y$ icin $$x=e^{\ln x}$$ esitligini kullanir $$x^y=(e^{\ln x})^y= e^{y \ln x}$$ hesabini yapardik.

Gelin gorun ki kompleks ussel fonksiyonun tersini tanimlamak oyle kolay degil, cunku kompleks ussel fonksiyon birebir degil. Haliyle $\ln (i)$ nedir derseniz, bir tane degil pek cok olasi yanit var (bu bir yerde $x^2=4$ denklemini saglayan birden fazla sayi olmasi gibi). Bunlarin arasindan bir tanesini dikkatlice secerek $\ln (i)$ tanimlanabilir. Bu surecin dikkatlice yapilmis haline "kompleks logarithma'nin bir dalini secmek" denir (ooo kompleks logaritma alirim bir dal -Ayhan Dil). En bilinen secim ile giderseniz $i^i=e^{-\pi/2}$ bulursunuz.

Comments

Teşekkürler..

---

Sorunun açılımları çok, teknik olarak da zorlukları var o yüzden çok doyurucu bir cevap olmadı ama eminim zaman içinde daha çok açıklama daha çok cevap birikecektir.