Bir polinomun tersini nasıl bulunur?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
378 kez görüntülendi

$p(x)$ bir polinom olmak üzere,

$(x-2).p(x)=x^2-ax+6$ olduğuna göre, $p(2)$ kaçtır?

ÇÖZÜM: $x=2$ eşitliğini kullanarak $a=5$ buldum. Daha sonra eşitliğin her iki tarafını soldan $x-2$ polinomunun tersi ile çarpıp $p(x)$'i yalnız bırakmak istiyorum. Sorum şu: $x-2$ polinomunun tersi olan polinom nedir? 

Not: Polinomun katsayıları cisimden geliyor. 

13, Kasım, 2016 Lisans Matematik kategorisinde H.B.Ozcan (68 puan) tarafından  soruldu
13, Kasım, 2016 H.B.Ozcan tarafından düzenlendi

$x-2$ polinomunun bir tersi olsa, $y$ de buna, $x-2 \times y= 1 $ vermeli. Bu $y$, şöyle:
$y= a_n x^n + a_{n-1} x^n-1 + \dots + a_1 x + a_0$.
 $x-2 \times y = a_n x^{n+1} + a_{n-1}x^n + \dots + a_1x^2 + a_0 x -  2a_n x^n -2 a_{n-1} x^{n-1} - \dots - 2a_1 x - 2a_0$
$= a_nx^{n+1} +(a_{n-1}-2a_n)x^n +\dots +(a_1 - 2a_2)x^2 +(a_0-2a_1)x-2a_0 = 1.$ Soldaki ve sağdaki polinomların dereceleri eşit olmalı, ne zaman olur bu, $a_n = (a_{n-1} -a_n )= \dots =(a_0-a_1)=0 (*)$ ise.
Şimdi $a_0 = -\cfrac{1}{2}$, o zaman ne gelecek $a_0 - a_1= -\cfrac{1}{2}- a_1 = 0 \implies a_1=-\cfrac{1}{2}.$ $(a_1 - a_2)=0 \implies -\cfrac{1}{2} -a_2 = 0 \implies a_2 = -\cfrac{1}{2} \implies \dots \implies a_n = -\cfrac{1}{2}.$Fakat $a_n= 0$ olmalı $(*)$ dan dolayı. Çelişki. Tersi yok.


Cevap çok açık teşekkürler. Peki o zaman bu soruyu nasıl çözebilirim? $p(x)$ polinomunu nasıl yalnız bırakabilirim?

Katsayılar bir cisimden geldiğine göre, iki polinomun çarpımının derecesi bu polinomların derecelerinin toplamına eşit olur. Bunu kullanarak $x-2$'nin tersi olan bir polinom olamayacağını söyleyebilirsin. Ama eğer formel kuvvet serilerine geçersen bir ters bulabilirsin.

Buna benzer olarak lineer cebiri ele al. $A$ matrisi tersinir olmasa bile bazı $b$ler için $Ax=b$ sisteminin çözümü bulunabilir.

Bir de bu soruyu lineer cebir yardımıyla da çözebilirsin. Zira $x-2$ ile çarpmak polinom uzayında lineer bir operatör olur. Matrislerle oynayarak çözebilirsin. 

$(x-2)p(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3) $

 $\Rightarrow p(x)=(x-3)\Rightarrow$  $p(2)=-1$


@Okkes Dulgerci, $2$ tanım kümesinde değil ki? $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2} p(x) = -1$ deriz en fazla.

$(x-2)p(x)^{-1}=1\Rightarrow p(x)^{-1}=\frac{1}{x-2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{-x^n}{2^{n+1}}$


$(x-2)\sum_{n=0}^{\infty}\frac{-x^n}{2^{n+1}}=1$


$(x-2)\sum_{n=0}^{\infty}\frac{-x^n}{2^{n+1}}p(x)=(x^2-5x+6)\sum_{n=0}^{\infty}\frac{-x^n}{2^{n+1}}$

$p(x)=(x^2-5x+6)\sum_{n=0}^{\infty}\frac{-x^n}{2^{n+1}}$

$p(x)=x-3$


$p(2)=2-3=-1$

Sayın Okkes Dulgerci hocam, açtığınız seri $x < |2|$ iken yakınsıyor. Bu adımla $p(2)=-1$ diyebileceğinizi düşünmüyorum, düşüncem hala diyebileceğimiz şeyin en fazla $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}p(x)=2$ olduğudur.

@Kirmizi Burada analitik bir şey yapılmıyor ki, yapılan şey tamamen formel.

Yani $p(2)$ diye bir şeyden bahsedebiliyor muyuz?

Evet. $p$ bir polinom çünkü. Hangi cisimde olursan ol, farketmez. Polinomlardan cismin kendisine "evaluation" (değerlendirme) doğrusal fonksiyonunu yazabilirsin. 

 Ekleyeceğim bir şey yok, cebir bilgim oraya kadar gitmiyor.

$a=5$ bulduktan sonra $p(x)$ polinomunu bulmak için eşitliğin her iki tarafını $x-2$'ye bölelim.

$x^2-5x+6$ polinomunu çarpanlarına $(x-3)(x-2)$ olarak ayırırız.Daha sonra $p(x)$'i yanlış bırakırız ve karşımıza

$p(x)=\frac{(x-3)(x-2)}{x-2}$ geliyor bu polinomu da sadeleştirdiğimizde $p(x)=x-3$ olur diye yapamaz mıyız? (10. sınıfta gösterilen polinomda bu tür soruları bu şekilde çözerdim,ne kadar doğru bilmiyorum.Büyük ihtimalle yanlıştır,doğru olsa zaten hocalarımız yazmış olurdu diye düşünüyorum.)

@baykus Doğrudur, yaparız. (Ben aşağıdaki cevabı yazarken a=5 bulunmuş olduğunu görmemiştim). 

Ama mesela katsayılar $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$'den geliyorsa yapamayız.

Lisans düzeyi olduğuna göre biraz daha soyut yaklaşırsak

( Bir cisim üzerine) polinomlar halkası tek tip çarpanlara ayrılma (UFD) bölgesidir ve 1. derece polinomlar indirgenemezdir.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$k$, üzerinde çalıştığın cisim olsun. $P_n(k)$, derecesi en fazla n olan polinomların uzayı olsun. Bu notasyonlarla $x-2$ ile çarpmak, $P_1(k)$'den $P_2(k)$'ye doğrusal bir fonksiyon tanımlar. Bu doğrusal fonksiyonu $f$ ile gösterelim.

$\{1,x\}$, $P_1(k)$ için bir taban oluşturur. Dolayısıyla, $f$'nin görüntü kümesi $$range(f) = span\{f(1), f(x)\} = span\{x-2, x^2-2x\}$$

olur. Bu iki polinom birbirinin katı olmadığı için, lineer bağımsızdırlar. Buradan birkaç sonuç çıkar.

1) $f$ fonksiyonunun görüntü kümesi iki boyutludur.

2) Dolayısıyla gerçekten de $x^2 - ax + 6$ polinomunda $a$'yı bilmemize gerek yok.

3) Rank-nullity teoremini kullanarak, $f$'in birebir olduğunu görebiliriz. Dolayısıyla, çözüm varsa bir tane olmalıdır.

4) $p = x-3$ bir çözüm veriyor. Dolayısıyla $p = x-3$ tek çözüm olmalı.

5) Eğer $x-3$'ün bir çözüm olduğunu göremeseydik şöyle bulabilirdik:

$$x^2 - ax + 6 = A(x-2) + B(x^2 - 2x) = Bx^2 + (A - 2B) x -2A$$

Katsayılara bakarak $B = 1, A= -3$ olduğunu kolaylıkla görebiliriz. Dolayısıyla 

$$x^2 - ax + 6 = A(x-2) + B(x^2 - 2x) \\= A f(1) + B f(x) = f(A + Bx) = (x-2)(A+Bx) \\= (x-2)(-3 + x)$$

6) Aslında ben çok uzattım. Tek yapman gereken $x-2$ ile çarpmanın birebir olduğunu iddia etmek. Bu da $k[x]$'in bir tamlık bölgesi olmasıyla açıklanabilir. Ya da daha da basit bir yolla. Ama aslında bunlar hep lineer cebirle de halledilebiliyor.

13, Kasım, 2016 Ozgur (2,098 puan) tarafından  cevaplandı
14, Kasım, 2016 H.B.Ozcan tarafından seçilmiş
...