(X,τ) topolojik uzayında X'deki kapalı kümelerin oluşturduğu aile, Ø ve X'i içerir. Ayrıca bu ailenin sonlu birleşimi ve keyfi arakesiti de bu aileye aittir.

1 beğenilme 0 beğenilmeme
153 kez görüntülendi

$TEOREM:$ ($X$,$τ$$)$ $topolojik$ $uzay$ $olmak$ $üzere;$

$1.$ Ø,$X$∊$Ќ$

$2.$($Ǎ$⊂$Ќ$)($Ǎ$ $sonlu$ $küme$)    $\bigcup$ $Ǎ$∊$Ќ$

$3.$ $Ǎ$⊂$Ќ$   ⇒   $\bigcap$ $Ǎ$∊$Ќ$

$koşulları$ $sağlanır.$ $(ispat$ $ediniz.)$

$notlar:$

$1.$ $ \boxed{Ǎ:=\{A|(A\subseteq X)(A∊τ)\}}$

$2.$ $ \boxed{Ќ:=\{A|(A\subseteq X)(\A∊τ)\}}$  

31, Ekim, 2016 Lisans Matematik kategorisinde mervekendince (509 puan) tarafından  soruldu
14, Kasım, 2016 mervekendince tarafından düzenlendi

Neler yaptığını ve nerede takıldığını yazarsan yardımcı oluruz.

teoremin ifadesini ve ispatını kontrol ederseniz çok yardımcı olmuş olursunuz hocam

⋃ ve ⋂ 'lerin altında A∊ Ǎ 'lar da var kodunu beceremediğim için yazamadım.

\bigcap_{A\in\mathcal{A}} yazar iki dolar işareti arasına alırsan görünüm $$\bigcap_{A\in\mathcal{A}}$$ şeklinde olacaktır.

$\bigcap_{A\in\mathcal{A}}$  aa oldu :) tamam hocam artık bunu da anldım. bunun dışında başka eksiklik var mı peki?

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Bir topolojik uzaydaki kapalı kümelerin oluşturduğu aileyi $\mathcal{K}$ ile gösterelim.

1) $\setminus X=\emptyset\in\tau\Rightarrow X\in\mathcal{K}, \mbox{ } \setminus \emptyset=X\in\tau\Rightarrow \emptyset \in\mathcal{K}$

2) $A,B\in\mathcal{K}$ olsun.

$$A,B\in\mathcal{K}$$$$\Rightarrow$$$$\setminus A,\setminus B\in\tau$$$$\Rightarrow$$$$(\setminus A)\cap (\setminus B)\in\tau$$$$\Rightarrow$$$$\setminus (A\cup B)\in\tau$$$$\Rightarrow$$$$A\cup B\in\mathcal{K}.$$

3) $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{K}$ olsun.

$$A\in\mathcal{A}\subseteq\mathcal{K}$$$$\Rightarrow$$

$$\left\{\setminus A|A\in\mathcal{A}\right\}\subseteq \tau$$

$$\Rightarrow$$$$\bigcup\{\setminus A|A\in\mathcal{A}\}\in\tau$$$$\Rightarrow$$$$\setminus \left(\bigcap \{A|A\in\mathcal{A}\}\right)\in\tau$$$$\Rightarrow$$$$\setminus\left(\bigcap\mathcal{A}\right)\in\tau$$$$\Rightarrow$$$$\left(\bigcap\mathcal{A}\right)\in\mathcal{K}.$$


1, Kasım, 2016 murad.ozkoc (9,031 puan) tarafından  cevaplandı
8, Ocak, 2017 murad.ozkoc tarafından düzenlendi

benim 2. ispat için yaptığım gösterim sizin ifadenizin daha genel hali mi yoksa tamamen yanlış bir ifade mi oldu hocam?

Sen sonlu sayıda kapalı kümenin birleşimini almışsın. Ben ise iki tane kapalı küme alarak yapmışım. Sonlu ya da iki tane alman fark etmez. 

O zaman ispatımda bu haliyle bir hata yoksa hatasız yaptığım ilk ispatım olacak :)

Yazımını biraz düzenlediğinde işlem tamamdır :-)

Bir dahaki ispatımı daha düzenli yaparım artık. Yardımlarınız için teşekkürler hocam.

Hem topoloji hem de latex öğreniyorsun. Ne güzel.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$(X$,$τ)$ $topolojik$ $uzay$ $o.ü.$

$1.$ \$X$ = $Ø$ ∊ τ    ⇒   $X$ ∊ $Ќ$       $...(i)$

    \ $Ø$ = $X$ ∊ τ    ⇒ $Ø$ ∊ $Ќ$          $...(ii)$

$(i)$ $ve$ $(ii)'den$  $Ø,$$X$∊$Ќ$ 

$2.$ $Ǎ$⊂$Ќ$ ⇒ (A∊$Ǎ$)(\A∊τ)      $...(*)$

                        $Ǎ$ $sonlu$      $...(**)$ 

$(*)$ $ve$ $(**)'dan$    ⇒      $\bigcap$ \A∊τ

                          ⇒  \($\bigcap$\A)∊$Ќ$ 

                          ⇒      $\bigcup$A ∊ $Ќ$ .

$3.$ $Ǎ$$Ќ$     (A$Ǎ$)(\Aτ

⇒      $\bigcup$\τ

⇒  \($\bigcup$\A)$Ќ$ 

        $\bigcap$A$Ќ$ . 

31, Ekim, 2016 mervekendince (509 puan) tarafından  cevaplandı
10, Kasım, 2016 mervekendince tarafından düzenlendi
...