Lineer diferansiyel denklemlerin tanımı üzerine

Question

Lineer diferansiyel denklem, bağımlı değişkeninin tüm türevlerinin 1. dereceden olduğu diferansiyel denklemdir.

Diğer bir deyişle

$a_0(t)y^{(n)}+a_1(t)y^{(n-1)}+a_2(t)y^{(n-2)}+\cdots +a_n(t)y=g(t)$

şeklinde yazılabilen tüm diferansiyel denklemler lineerdir.

Buraya kadar sorun yok...

Ama eğer $0\leq m \leq n$ olacak şekilde $a_m(t)=y$ oluyorsa... Bu terimlerden birini 2. dereceden yapıp denklemi lineer olmaktan çıkarmaz mı, çıkarmazsa neden çıkarmaz?

Comments

Goruldugu gibi katsayilar $"t"$ nin fonksiyonu.. Tanim geregi $a_m(t)=y$ olamaz..

---

Hocam $y$ de $t$'nin fonksiyonu değil mi? Tanımdan kasıt, neyin tanımından?

---

Evet, $y$ de $t$ nin fonksiyonu dogru ama katsayilar sadece $t$ nin fonksiyonu lineer diferansiyel denlemler tanimindan, aksi halde lineer olmaz..

---

Ben bir noktayı kaçırıyor muyum? Diyelim ki $y=3t^2+t$ olsun. $(3t^2+t)y'+y=5t$ diferansiyel denklemi lineer olur mu?

---

Senin dedigin tabi ki lineer dif denk. katsayi t'ye bagli bir polinom, derecesi onemli degil, tanimda onu soyluor zaten..

Euler dif. denk. gordun mu sen hic. O bir lineer dif denk dir.. 

---

lineer olmayan dif denk ornekleri

$y^{'''}+\boxed{y y^{'}}+2y=0$

$y^{'''}+\boxed{{(y^{'})}^2}+2y=0$

$y^{'''}+\boxed{y^2 y^{''}}+2y=0$

$y^{'''}+2t\boxed{y y^{''}}+2t^2y{'}=0$

---

Görmemiştim, şimdi öğrenmiş oldum hocam :) Sonuç olarak anladığım fonksiyon $t$ cinsinden gösteriliyorsa sorun yok.

---

Ben yanlış yaptığım yeri şimdi anladım. Nedense, $y$ fonksiyonunu biliyormuşuz gibi davranıp, $a_m(t)$'yi $y$ cinsinden yazabileceğimiz yanılgısına kapılmışım. Çok teşekkürler hocam anladım şimdi.

---

$y=3t^2+t$ olsun yanlis bir yaklasim.. $a_n(t)=3t^2+2$ demelisin..

Genel olarak $n$. dereceden homojen olmayan dif denk su sekilde yazilir.

$p_n(t)y^{(n)}(t)+p_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t)+\dots+p_2(t)y^{''}(t)+p_1(t)y^{'}(t)+p_0(t)y(t)=f(t)$

Buradaki $p_n(t)$ ler surekli $\underline{fonksiyon}$dur, (polinom demedim)

yani suda $y^{''}+2ty^{'}-\ln(t)y=f(t)$  2. dereceden lineer dif denktir

---

Sonradan yanlışlığını ve neden yanlış olduğunu anladım hocam. Emekleriniz için çok teşekkürler.

---

Rica ederim..