analiz 4

0 beğenilme 0 beğenilmeme
149 kez görüntülendi

image

6, Mayıs, 2015 Lisans Matematik kategorisinde mrs (32 puan) tarafından  soruldu

Agirlik merkezinin cozumu derken, yerini bulmayi mi kast ediyorsunuz?

Standart Kalkülüs kitaplarında bulunabilecek bir şey aslında. Cevâbı kolaylıkla verilebilir ama pek bir esprisi olmaz.


ağırlık merkezini bulmayı kastediyorum çözüm var ama bir yerde integral işin içine girmesi lazım o çözümü arıyorum fakat bulamıyorum yardım ederseniz sevinirim.


1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Noktasal parçacıklar için tanımlanan kütle merkezi (KM) kavramını sürekli maddesel dağılım için genişletirseniz, KM koordinatı $\vec R$ için: $$\vec R=\frac{1}{M}\int_V \rho(\vec r)\vec r dV$$ elde edilir. İki bpyutlu dağılımda bu ifâde: $$\vec R=\frac{1}{M}\int_S \sigma(\vec r)\vec r dS$$ şeklinde girer. Burada $\sigma$ iki boyutlu, yüzeysel kütle dağılımı fonksiyonudur. 

Sizin sunduğunuz problemde levha homojen olduğundan, yoğunluk fonksiyonu $\sigma(\vec r)=\sigma_0=\mbox{sabit}$ şeklinde alınmalıdır. O hâlde integral, $$\vec R=\frac{\sigma_0}{M}\int_S \vec r dS$$ şekline bürünür. $A$ levhanın toplam alanı olmakla berâber, $\frac{\sigma_0}{M}=\frac{M}{AM}=\frac{\sigma_0}{M}=\frac{1}{A}$ yazılabilir. Bu kenarda dursun. Belki lâzım olur, belki olmaz...

Sistemin geometrisi kartezyen koordinatlara müsâiddir. Bunun yanında, levhanın yattığı düzlemi $x\circ y$ düzlemi olarak alırsak, $dS=dxdy$ olacaktır.Bunları yerine korsak, $$x=\frac{1}{A}\int_S x dxdy=\frac{1}{A}\int_{\mbox{min}\{y_1, y_2\}}\int_{x_{13}(y)}^{x_{23}(y)} x dxdy$$ $$y=\frac{1}{A}\int_S y dxdy=\frac{1}{A}\int_{\mbox{min}\{y_1, y_2\}}\int_{x_{13}(y)}^{x_{23}(y)} y dxdy$$ integralleri alınır. Bu ifâdelerde meselâ $x_{13}$, $x_1$ ile $x_3$ koordinatlarına sâhip doğrunun denklemini $y$'nin fonksiyonu olarak gösteren fonksiyondur. $\mbox{min}$'den kurtulmak için de genelliği bozmadan $y_1<y_2$ veyâ tersi alınabilir; veyâ olduğu gibi bırakılabilir de, zîrâ bu ifâde sâbit bir sayıdır sâdece. Şimdi, sınırları tesbît ettikten sonra işlemler biraz hassâsiyet gerektiriyor ama prensipte bundan başka birşey yok!


7, Mayıs, 2015 Yasin Şale (1,201 puan) tarafından  cevaplandı
...