Güzel bir his dimi?
Burada dikkat etmen gereken bir şey şu: bölüm objeleriyle, alt objeleri birbirine karıştırmamak (Bir de $L$'ler ile $F$'leri karıştırmamak). $L: V \to V$ ise, $Im L$ uzayı $V$'nin bir altuzayı olur. Ama $V/W$ bir bölüm uzayı, alt uzay değil.
Eğer kendimizi gerçekten vektöruzaylarına kısıtlıyorsak işimiz çok kolay aslında. $f: V \to W$ bir lineer fonksiyon olsun. a) Eğer $f$ birebir ve $a_1, \ldots, a_n \in V$ vektörleri doğrusal bağımsız iseler $f(a_1), \ldots,f( a_n) \in W$ vektörleri de doğrusal bağımsızdır. b) Eğer $f$ örten ise ve $\beta$ kümesi $V$'yi geriyorsa, $f(\beta)$ kümesi de $W = Im(f)$'yi gerer. Kanıtlarını sana bırakıyorum. Şimdi a şıkkından şunu çıkarabiliriz: Eğer $V$'den $W$'ya birebir bir fonksiyon varsa $\dim V \leq \dim W$ olur. $V$'den $W$'ya örten bir fonksiyon varsa $\dim V \geq \dim W$ olur. Dolayısıyla, eğer $V$'den $W$'ya bir izomorfizma varsa $\dim V = \dim W$ olmalı.
Öte yandan $\dim V = \dim W$ olsun ve $\beta_V , \beta_W$ sırasıyla bu iki uzay için taban oluştursunlar. Boyutlar eşit olduğu için $g: \beta_V \to \beta_W$ olacak şekilde birebir ve örten bir fonksiyon vardır. $f: V \to W$ doğrusal fonksiyonunu taban elemanları üzerinde $e \mapsto g(e)$ olarak tanımlarsan, $f$ bir otomorfizma olur.
Yani lineer cebirde vektöruzaylarını izomorfizma sınıflarına ayırdık. Her kardinal sayı için bir tane vektöruzayı var aslında sadece.
Senin soruna dönecek olursak $\dim U = \dim W \iff \dim V/U = \dim V/W \iff V/U \cong V/W$ sonucunu çıkarabiliriz.