Bölüm uzayı(Ya da grubu, halkası) tanımlanırken seçim aksiyomu kullanılıyor mu?

Question

Vektör uzayları üzerinden gideceğim. $V,W$ iki vektör uzayı ve $L : V \rightarrow W$ bir lineer transformasyon olsun. $L$'yi örten yapmak kolay $W=ImL$ almak yeterli. Ancak $L$'yi birebir yapmak o kadar kolay değil. Bunun için $V$'yi $KerL$'ye bölmek gerekli. Bu $V / KerL$ bölüm uzayını tanımlarken $KerL$'nin $V$ deki her ötelemesinden bir temsilci seçmek gerekiyor. Bunu yapabileceğimizi nerden biliyoruz? Seçim aksiyomu mu kullanılıyor?

Soruyu yazarken aklıma gelen ikinci soru: $KerL$'ye bölmek zorunda mıyız? Bence değiliz. Herhangi bir altuzaya bölebiliriz. O halde şu önerme doğru mu:

$U,W ≤ V$ ise, $V / U$ $\sim$ $V / W$ 

Comments

En son aklına gelen şey doğru olsaydı $U =\{0\} , W=V$ alarak her vektöruzayının tek elemanlı olduğunu gösterebilirdin.

---

O zaman soruyu degistireyim, hangi kosullari saglayan $U,W$ icin $V /U$ $\sim$ $V / W$ olur?

---

Son sorumla ilgili bir iki bir şey çiziktirdim. Hangi koşullardaki $U,W ≤ V$ için ($U \neq W$) $V/U \sim V/W$ olduğunu araştırıyoruz. $F: V \rightarrow V$ bir lineer transformasyon olsun. İlk varsayımımız $F$'yi örten yapmak için olacak.  $F$'yi örten yapmak için görüntü kümesi olan $V$ yerine $ImL = V/W$ alalım. Yeni amacımız birebir yapmak. Bunun için de $KerL = \{v \in V | F(v) = \widetilde0 \}$ $=$ $U ≤ V$ olduğunu da varsayalım. Şimdi de $V$'yi $U$'ya bölersek şu izomorfizmayı elde ederiz:

                                                  $L : V/U \rightarrow V/W$

İki varsayım yaptık,

$(i)$  $ImL =W$

$(ii)$  $KerL =U$

Yaptıklarımızın doğal bir sonucu olarak sağladığı bir sonuç :

Eğer $U,W ≤ V$ ($U \neq W$) için,

                                                $L : V/U \rightarrow V/W$

lineer transformasyonu bir izomorfizma ise $dimU + dimW = dimV$ olmalı.

$Sonuç:$ $V= U \oplus W$ olmalı.

Varsayımlarım yeterli, ancak gerekli mi bilmiyorum.

Cevabı yazarken aklıma gelen yeni bir soru( matematikçi olmaya başladığımı hissediyorum sanırım):

Hangi $W≤U≤V$ altuzayları için $V/U \sim U/W$ olur?

---

Güzel bir his dimi?

Burada dikkat etmen gereken bir şey şu: bölüm objeleriyle, alt objeleri birbirine karıştırmamak (Bir de $L$'ler ile $F$'leri karıştırmamak). $L: V \to V$ ise, $Im L$ uzayı $V$'nin bir altuzayı olur. Ama $V/W$ bir bölüm uzayı, alt uzay değil.

Eğer kendimizi gerçekten vektöruzaylarına kısıtlıyorsak işimiz çok kolay aslında. $f: V \to W$ bir lineer fonksiyon olsun. a) Eğer $f$ birebir ve $a_1, \ldots, a_n \in V$ vektörleri doğrusal bağımsız iseler $f(a_1), \ldots,f( a_n) \in W$ vektörleri de doğrusal bağımsızdır. b) Eğer $f$ örten ise ve $\beta$ kümesi $V$'yi geriyorsa, $f(\beta)$ kümesi de $W = Im(f)$'yi gerer. Kanıtlarını sana bırakıyorum. Şimdi a şıkkından şunu çıkarabiliriz: Eğer $V$'den $W$'ya birebir bir fonksiyon varsa $\dim V \leq \dim W$ olur. $V$'den $W$'ya örten bir fonksiyon varsa $\dim V \geq \dim W$ olur. Dolayısıyla, eğer $V$'den $W$'ya bir izomorfizma varsa $\dim V = \dim W$ olmalı.

Öte yandan $\dim V = \dim W$ olsun ve $\beta_V , \beta_W$ sırasıyla bu iki uzay için taban oluştursunlar. Boyutlar eşit olduğu için $g: \beta_V \to \beta_W$ olacak şekilde birebir ve örten bir fonksiyon vardır. $f: V \to W$ doğrusal fonksiyonunu taban elemanları üzerinde $e \mapsto g(e)$ olarak tanımlarsan, $f$ bir otomorfizma olur.

Yani lineer cebirde vektöruzaylarını izomorfizma sınıflarına ayırdık. Her kardinal sayı için bir tane vektöruzayı var aslında sadece.

Senin soruna dönecek olursak $\dim U = \dim W \iff \dim V/U = \dim V/W \iff V/U \cong V/W$ sonucunu çıkarabiliriz.