Türev Kullanmadan Karekök Fonksiyonunun Görüntü Kümesini Bulmak

0 beğenilme 0 beğenilmeme
46 kez görüntülendi

http://matkafasi.com/93891/kullanmadan-rasyonel-fonksiyonlarin-goruntu-kumesini-bulmak


Linkteki soruda bir rasyonel fonksiyon için sorulmuş ve Doğan Hocam tarafından cevaplanmış.

Benim sorum : Türev kullanmadan $ f(x) = \sqrt x - \sqrt{4-x}$ fonksiyonunun, tanım kümesi en geniş tanım kümesi alınarak görüntü kümesini nasıl buluruz?

10, Ekim, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Cagan Ozdemir (632 puan) tarafından  soruldu
10, Ekim, 2016 Cagan Ozdemir tarafından düzenlendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Çözüm : 

En geniş tanım kümesi $ T = \{x \in \mathbb R : 0 \leq x \leq 4\}$ dir. Karekök alma fonksiyonunun artan olduğunu biliyoruz, yani $x_0 \leq x_1$ ise $\sqrt{x_0} \leq \sqrt{x_1}$ olur.

$g(x) = -\sqrt{4-x}$ fonksiyonunun da artan olduğunu gösterelim: $x_0 , x_1 \in T$ ve $x_0 \leq x_1$ olsun. O halde, $-x_0 \geq -x_1$ olur. 

İki tarafa da 4 eklersek, $ 4-x_0 \geq 4-x_1$ olur.

Karekök alalım : $ \sqrt{4-x_0} \geq \sqrt{4-x_1}$ ve $-\sqrt{4-x_0} \leq -\sqrt{4-x_1}$ elde ederiz.

Yani toplamda, $\sqrt{x_0}-\sqrt{4-x_0} \leq \sqrt{x_1}-\sqrt{4-x_1}$ olur. Yani $f$ fonksiyonu artandır. Ayrıca iki sürekli fonksiyonun toplamı olduğu için de süreklidir. Dolayısıyla en küçük değeri $f(0) =-2$ ve en büyük değeri $f(4)=2$ olur. Yani görüntü kümesi $[-2,2]$ dir.

10, Ekim, 2016 Cagan Ozdemir (632 puan) tarafından  cevaplandı
11, Ekim, 2016 Cagan Ozdemir tarafından düzenlendi

Sanıyorum $f(0)=-2$ olmalı.

Evet Mehmet Hocam duzelttim

...