Tüm kardinallarin topluluğu

Question

Tüm kardinallarin oluşturduğu topluluğu düşünelim, bu küme değil sanırsam. Ama sıralama var gibi(küme olmayan bir şeyin üzerinde sıralama?).

Küme teorik olarak bu topluluktan bir bilgi alamayacak gibiyiz .Peki bu tür bir topluluğa nasıl yaklaşmalıyız?

Örneğin bu şey alttan sınırlı? İlk iki elemanı arasında bir eleman yok gibi, peki ikinciyle üçüncü eleman arasında bir eleman var mı? (Böyle bir soru sorma oldukça yanıltıcı olabilir ,belki bunu sormaya hakkımda yok tamamen sezgisel soruyorum)

Dolayısıyla sezgisel olarak bu şey yoğun değil gibi(tabi neyin içinde) sorular sorular...

Answer 1

Kardinal sayılar sınıfı bir küme oluşturmaz. Şöyle ki, kendisinden önceki ordinal sayılarla eşlenemeyen ordinallere kardinal sayı diyoruz ve Cantor'un teoremi dolayısıyla her kardinal sayıdan daha büyük bir kardinal sayı bulunabilir. Bunu kullanarak sonluötesi tümevarım ile ordinal sayılardan kardinal sayılara bir eşleme bulabilirsiniz. Dolayısıyla, kardinal sayılar (aynen ordinal sayılar gibi) bir küme oluşturamayacak kadar büyüktür.

Kardinal sayılar ordinal sayıların bir alt sınıfı olduğu için ordinal sayılardan gelen sıralama altında iyi sıralıdır, zira ordinal sayılar iyi sıralı bir sınıftır. Dolayısıyla kardinal sayıların sıralaması yoğun bir sıralama değildir. (Tabii burada "sıralama" diye neyi kastettiğimiz önemli, zira sizin de fark ettiğiniz gibi kardinaller üzerindeki sıralamayı sıralı ikililer olarak kodlarsak bir küme oluşturmaz, öte yandan bir iyi sıralamanın sağlaması gereken tüm özellikleri sağlar.)

Tüm kardinaller topluluğundan nasıl bir bilgi almak istediğinizden emin değilim, o yüzden kardinallerden talep ettiğiniz bilgiyi daha açık olarak sorarsanız daha çok yardımcı olabiliriz.

Comments

tesekkurler kabaca bu topluluğu ve özelliklerini anlamak istemiştim. Sorumda da ilk akla gelebilecek bır kaç sey belirttım, tanımının ötesınde bunları yeterınce ifade etmişsiniz. Şimdi daha genel olarak bu tür sınıflar üzerınde nasıl bır matematık var onu sorabılırım.Örneğın topolojıden nasıl bahsedeciğiz .bu tur sınıfları daha derınlemesıne anlamak için ne yapılıyor yanı bunlar tanımlandığı şekilde kalmış varlıklar mı? (sınıf kavramına hakım degılım sorular uçuk olabılır)

---

Tanımlandığı şekilde kalmış varlıklar değil tabii. Kümeler kuramının en temel çalışma objeleri sonuçta. Sınıf olmaları çok bir şey değiştirmiyor. Bir ordinal sabitleyip o ordinale kadar olan ordinallere bakarsanız zaten bir küme oluşturuyor. Mesela bu kümeler (yani ordinaller) üzerine sıralama topolojisi koyup oluşan topolojik uzayın özelliklerini inceleyebilirsiniz. Topoloji dediğiniz için bu örneği verdim. Mesela daha kombinatoriyel fikirlerle ilgileniyorsanız sonsuz kombinatorik alanı kardinallerin birbirleriyle olan boyama-parçalanma ilişkilerini inceliyor vs. Sorunuz çok geniş olduğu için şimdi örnek vermeye başlarsam çok uzayacağı için sizi bir ileri kümeler kuramı kitabına yönlendirmek daha faydalı olabilir. (Mesela Thomas Jech'in Set Theory kitabı, kabaca, her konudan az çok bahseder. Buradan kardinaller ve ordinallerin nasıl ve neden önemli olduğuna dair bir görüş edinebilirsiniz)

Answer 2

$\mathcal{A}=\{A\mid A \,\ \text{(normal) küme}\}$ olmak üzere

$$\beta=\{(X,Y)\mid \exists f:X\rightarrow Y \,\ \text{bijektif}\}\subset \mathcal{A}^2$$ bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. Bu denklik bağıntısına göre denklik sınıflarının her birine bir kardinal sayı; denklik sınıflarının (kardinal sayıların) oluşturduğu $$\mathcal{A}/\beta$$ oran (bölüm) kümesine de kardinal sayılar kümesi denir ve $\mathcal{K}$ ile gösterilir. Buna göre

$[\emptyset]=\{X\mid (\emptyset,X)\in \beta\}=\{\emptyset\}$ olur ve bu denklik sınıfını "$0$" sembolü ile gösterelim ve adına "sıfır" diyelim.

$[\{\emptyset\}]=\{X\mid (\{\emptyset\},X)\in \beta\}=\{\{\emptyset\}\}$ olur ve bu denklik sınıfını "$1$" sembolü ile gösterelim ve adına "bir" diyelim.

$[\{\emptyset,\{\emptyset\}\}]=\{X\mid (\{\emptyset,\{\emptyset\}\},X)\in \beta\}=\{\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}$ olur ve bu denklik sınıfını "$2$" sembolü ile gösterelim ve adına "iki" diyelim.

$$.$$

$$.$$

$$.$$

$[\mathbb{N}]=\{X\mid (\mathbb{N},X)\in \beta\}=\{\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},...\}$ olur ve bu denklik sınıfını "$\mathcal{N}_0$" sembolü ile gösterelim ve adına "aleph sıfır" diyelim.

$[\mathbb{R}]=\{X\mid (\mathbb{R},X)\in \beta\}=\{\mathbb{R},\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q},(0,1),(0,1],[0,1),[0,1,]...\}$ olur ve bu denklik sınıfını "$c$" sembolü ile gösterelim ve adına "continium" diyelim. O halde kardinal sayılar kümesi

$$\mathcal{K}:=\mathcal{A}/\beta=\{0,1,2,...,\mathcal{N}_0,c,...\}$$ 'dir. Kardinal sayılarda eşitlik tanımı şöyledir. $[X],[Y]\in \mathcal{K}$ olmak üzere $$[X]=[Y]:\Leftrightarrow \exists f:X\rightarrow Y \,\ \text{bijektif}$$

Sıralamaya gelince iki kardinal sayı arasındaki sıralama ise şöyle yapılır. $[X],[Y]\in \mathcal{K}$ olmak üzere $$[X]\leq [Y]:\Leftrightarrow \exists f:X\rightarrow Y \,\ \text{injektif}$$

$$[X]<[Y]:\Leftrightarrow ([X]\leq [Y])([X]\neq[Y])$$

şeklinde uzayıp gider. Güzel bir konudur. Bu sınıflamayı ilk olarak Cantor yapmıştır.

Comments

düzeltme; teşekkürler 'birinci' 'ikinci' eleman derken sonlu kardinalleri hesaba katmamışım o kısım anlaşılcağı uzere süreklilik hipoteziyle ilgili olarak alefsıfırla contınıum arasındaki mevzu bunun için aslında c1 ve c2 arasındaki durumu sormak istedım

---

bu K nın küme olduğundan şüpheliyim; eğer kümeyse K nın kardinali ne? yani $K\in K$ durumu var bu yasaklanmış birşey

---

Cevaptaki ilk satırı tekrar okuyun.

---

Md ye baktım ve c1 ve c2 arasında kardınal varmı sorusu Genelleştirilmiş süreklilik hipotezine karsılık geliyormuş; yanı arada baska kardinal olmadığı varsayılıyor

---

K nın cardinalitesi nedir?

---

$\mathcal{K}\notin \mathcal{K}$

---

öncelikle yazınızın başındaki süslü A da kafa karıştırıcı; normal kümeden kastınız kendını elemanı olarak içermeyen kümeler ise ve süslüA da normal ise kendini içermez ama tüm normal kümeleri içerdiğinden kendini içermeli.eger süslüA normal degılse kendını içerır ama süslüA normallerı içerır ozaman kendını içermemeli

---

Yanlis yonlendirici bir iki bilgi var. Kardinal sayilar sinifi bir kume olusturmaz, dolayisiyla kardinal sayilar kumesi yerine sinifi demek daha uygun olabilir. Bir de ilk sonsuz kardinalle continuum arasinda bir kardinal olmadigi varsayimi (sureklilik hipotezi) kumeler kuramindan bagimsiz.

Bir de kardinalleri tum kumeler evreninin eslenebilirlik denklik bagintisi altindaki denklik siniflari olarak tanimlamak daha eski bir yaklasim. Modern ve daha cok kullanilan yaklasim kardinalleri ordinal sayilar sinifi uzerinden tanimlamak. MD'nin eski sayilarinda temel tanimlarin hepsi incelenmisti saniyorum.