Derecesi $d$ olan ve bas katsayisi $1$ olan bir $P(x)$ polinomu icin $\Delta^d(P(x))=d!$ oldugunu gosteriniz. ($\Delta (f(x)):=f(x+1)-f(x)$)

1 beğenilme 0 beğenilmeme
58 kez görüntülendi

$f$ fonksiyonu icin $$\Delta (f(x)):=f(x+1)-f(x)$$olarak tanimlansin. Derecesi $d$ olan ve bas katsayisi $1$ olan bir $P(x)$ polinomu icin $$\Delta^d(P(x))=d!$$ oldugunu gosteriniz.

7, Ekim, 2016 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Sercan (23,839 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$P$ polinomunu $a_n \ne 0$ olmak uzere $$P(x)=a_n x^n+\cdots+a_1x+a_0=\sum_{i=0}^na_ix^i$$ olarak yazalim. Bu durumda $$\Delta \left(\sum_{i=0}^na_ix^i\right)= \sum_{i=0}^na_i(x+1)^i-\sum_{i=0}^na_ix^i=\sum_{i=0}^na_i((x+1)^i-x^i)=\sum_{i=0}^na_i\Delta(x^i)$$olur. Bu sekilde $n$ kere $\Delta$ operatorunu uygularsak $$\Delta^n \left(\sum_{i=0}^na_ix^i\right)=\sum_{i=0}^na_i\Delta^n(x^i)$$ olur.

Sunu ispatlayalim: $k\ge 1$ tam sayisi icin $$\Delta^k(x^k)=k!$$ olur. Dolayisiyla $d>k$ icin $$\Delta^d(x^k)=0$$ olur. Bu da bize $$\Delta^n \left(\sum_{i=0}^na_ix^i\right)=\sum_{i=0}^na_i\Delta^n(x^i)=a_n\cdot n!$$ oldugunu verir ve $n=d$ ve $a_n=a_d=1$ durumunda da istenilen sonuc $$d!$$ olur.

Ispatlayalim kismini okuyucuya birakiyorum. Soru artik kolaylasmis oldu. Tumevarim deniyebilirsiniz. Ayrica bu operatorun turev ile iliskisini de gorebilirsiniz. 

7, Aralık, 2016 Sercan (23,839 puan) tarafından  cevaplandı
9, Aralık, 2016 Anil tarafından seçilmiş

wow çok iyi duruyor ,buna iyi bir bakmak gerek

Son kisimi da ekleyebilirisin, akabinde.

eklıcem.             

...