Bir doğal sayının 6 katının 2 fazlası başka bir doğal sayının karesi olabilir mi? Olup olmadığını ispatlayın.

Question

Yani sorumuz şöyle $6x+2=y^2$ denklemini sağlayan x, y doğal sayıları var mıdır ?

Comments

Yıldızı da kaldırabilirsin. Böyle bir $x$ ve $y$ sayıları varsa $y$ kesinlikle çift olmalıdır. Ama büyük bir ihtimalle bu koşulu sağlayan doğal sayılar yok diye tahmin ediyorum.

---

Bende sorunun zarifliği için sordum. (Yıldızı kaldırdım) Önsezi çoğu insanda olması lazım yönünde. ispatıda güzel :)

---

bu sorudan sitede var miydi emin degilim lskin benzer sorular, yani ayni oze sahip sorular var, onlara bakmak da faydali olabilir.

---

bilmiyorum fermat teoremini ispatlarken kendim çıkardım ordan bunu :D

Answer 1

$x^{2}=0,1(mod3)$ bir tamsayinin karesinin modteki kalanı 2 olamaz 0 veya 1 dir  o yüzden böyle tamsayılar olamaz

Comments

en dogal ve guzel cevap.

---

aynen. ispatıda böyle zaten

---

(bu yorumu kendimce genel bir bilgi vermek icin yaziyorum) evet, soru basit oldugundan dolayi cevap bu sekilde. modulo 6 ile de cozum yapilabilir. zaten soru modulo 3 icin dusunulmus ve sorulmus. eger ilerde isimize yarar bir denklem icin sonuclara bakmak istersek cok daha komplike yontemler kullanmak gerekebilir.

tabi ilk olarak asal sayilara bakmak lazim (ozellikle  degisken katsayilarini bolen) ki "quadratic residue" denilen konu icin algoritma polinom sureli degil bildigim kadariyla. (polinom sureli algoritmalar var da ozel durumlar icin).

 ki burdaki durum biraz daha zayif cunku $6x+2$ degerlerinin kare olup olabilecegini soruyor. Yani bir elemandan fazla bir durum soz konusu.

zaten degisken katsayisi ile aralarinda asal bi sayi alirsak (lineer bir sistem icin) bosa kurek cekmis oluruz. Cunku bu tarz lineer bir transform tum cismi kapsar ki, bunlarin icinde kareler de mecburen olur.

ve daha... cok uzun bir konu..