$ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ten $ \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ ye giden butun lineer donusumleri siniflandiralim.

Question

$n,m \in \mathbb N $ olsun. 

$ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ve $ \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$, $K$ uzerine iki vektor uzayi olsun. 

Eger, 

                                  $F : \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} $  

bu iki vektor uzayi arasinda bir lineer donusumse $F$ hangi ozellikleri saglamalidir? Baska bir deyisle $\overline1 \in  \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ icin $ F(\overline1) = ?$

Comments

$n,m,K$ arasindaki iliski ne olmali peki? $n=2,m=3, K=\mathbb F_5$ olabilir mi gibi?

---

Iliski olmasina gerek var mi? $n$, $m$ nin herhangi dogal sayilar olmasi yeterli. $K$ da sonlu ya da sonsuz bir cisim olabilir fark etmez. Ama bir lineer donusum belli ki $1$ i herhangi bir yere goturemez, 

---

Sonucta bir iliski kurmaya calisacagiz. $m$'yi $K$ icinde bir eleman olarak gorelim. 

($m$ adet toplam) $f(1+1+\cdots+1)=f(1)+\cdots+f(1)=0$ olur. $m$'ye denk gelen $K$ icindeki elemani da alirsak $mf(1)=0$ olmali olur. Eger $m$ $K$ icerisinde sifir degilse $K$ icerisinde $m^{-1}$ vardir. Bu da $0=m^{-1}(mf(1))=f(1)$ oldugunu verir. 

$m$  $K$ icerisinde sifir ile devam edelim.

($n$ tane) $0=f(0)=f(1+\cdots+1)=f(1)+\cdots+f(1)=n\cdot f(1)$ olur. (cisimdeki $n$'ye denk gelen eleman icin de, $Z/mZ$ icin de). Eger $n$  $K$ icerisinde sifir  degilse yine ayni senaryo ile $f(1)=0$ olur.

$n,m$  $K$ icerisinde sifir ise cisim sonlu olmali olur.  Karakteristik pozitif. Bunu yukarida da cikarabilirdik.

Ayrica $Z/mZ$ icerisinde de $nf(1)=0$ olmali. Buradan $n=0 \mod m$ degilse ... diye gider. 

---

Acikcasi cismin ne oldugunun cok onemli olmadigini dusunmustum, onemliymis. 

$n$ de $m$ de cisimde olmasalar? Yani skalerle carpmanin fonksiyonun alacagi degeri etkilemesini istemiyorum. Sadece bu iki vektoru uzayinin elemanlari arasindaki dogal(bolum grubu yapisindan kaynaklanan) iliskinin fonksiyonun alacagi degeri nasil belirleyecegini merak ediyordum. Soruyu sormak cevaplamaktan daha zor oluyor bazen.

---

Evet, oyle oluyor bazen.

$char \; K=p>0$ olsun. Ilk olarak $N=Z/nZ$'yi modul olarak inceleyelim. $n=0 \in K$ oldugundan $p \mid n$ olmali. Ayrica $p$ kere toplam da olusacak modul hakkinda bilgi verir. $p\cdot a=0 \cdot a=0$ olacak. Yani olusacak modul sifir modul degilse bu modulde de karakteristik $p$ olmali. Demek ki $Z_p$ kopyalari icermeli sadece. Illa ki cisim olmasina gerek yok.

Ornegin $\{0,\alpha\}$ oyle ki $\alpha \in \mathbb F_4-\mathbb F_2$. Bu bize $\mathbb F_2$ uzerinde bir vektor uzayi verir.  Bunlari linearised(?) polinomlarla iliskilendirebilirsin, her pozitif karakteristik icin. Yukaridaki uzayin polinomu $x^2+\alpha x$. 

Simdilik aklima gelenler bunlar. Sorunu acmana yardimci olur mu bilmem ama.

---

Bekledigim de boyle seylerdi zaten, cok tesekkurler Sercan Hocam.

---

$V$, $k$ cismi üzerine sonlu boyutlu ($n$-boyutlu diyelim) bir vektör uzayı ise $V \cong k^n$ olur. Bunu göstermek zor değil. $V$'nin taban elemanlarını, $k^n$'nin standart tabanına gönderen dönüşüm izomorfizmadır. $k^n$'in eleman sayısı da $|k|^n$. Yani Sercan'ın ilk yorumuna ben de katılıyorum.

Bunlara istersen $\mathbb{Z}$-modül, yani abelyen grup, olarak bakabilirsin.