$ab+cd$ ifadesi kaça eşittir?

Question

$a^2+b^2=c^2+d^2=1$ ve $ac+bd=0$ olduğuna göre $ab+cd$ ifadesi kaça eşittir?

Comments

Soruda tanım aralığı verilmemiş ama soran olursa diye reel sayılarda tanımlayalım.

---

Forum israrina dayanamadim cozdum soruyu.

Answer 1

Birim cember uzerinde ve dik olan $(a,b)$ ve $(c,d)$ noktalari verilmis. Yani $c$ ve $d$'nin acisi sirasi ile  $a$ ve $b$'den $90$ derece fazla. Bu nedenle istenen ifade  $$\cos(x)\sin(x)+\cos(x+90)\sin(x+90)=0$$ olur.

Not: Tabi burada $(a,b)$ ve $(c,d)$'yi aralarinda pozitif yonde $90$ derece olacak sekilde sectik ve ilk noktaya $(a,b)$ dedik.

Comments

@Sercan hocam,"birim çember üzerinde ve dik olan $(a,b)$ ve $(c,d)$ noktaları verilmiş" ile neyi anlatmak istediniz?  İki noktanın dik olmasını anlayamadım. Ben bunu, bitim noktaları birim çember üzerindeki $A(a,b),B(c,d)$ olan ve birbirine dik olan iki konum vektörü(Ya da karmaşık sayı) olarak anladım. Doğru anlamış mıyım? 

 Bir de yazdığınız trigonometrik eşitlikteki $x$ nedir? Kompleks sayının esas argümanı mı?

---

Evet hocam. Birim cemberin denklemi $x^2+y^2=1$ oldugundan $(a,b)$ ve $(c,d)$ noktalari uzerinde olur. $(a,b) \cdot (c,d)=ab+cd=0$ oldugundan vektorel olarak dik olurlar.

$x$ burada $(a,b)$ vektorunun herhangi bir acisi, esas olmasina gorek yok. Verilen esitlik her $x \in \mathbb R$ icin saglaniyor. $\cos(90+x)=\sin(-x)=-\sin x$ ve $\sin(90+x)=\cos(-x)=\cos(x)$.

Eger $(a,b)=(\cos x,\sin x)$ dersek secimimizden $(c,d)=(\cos (90+x), \sin(90+x))$ olur. Eger hic secime girmeseydik ikinci secenek  $(c,d)=(\cos (270+x), \sin(270+x))$ olurdu. 

---

Teşekkür ederim Sercan hocam.

Answer 2

Genel manada $a,b,c,d$ değerleri bir ortonormal matrisin girdileri.

$A=[a,b;c,d]$,  $A^{t}=[a,c;b,d]$ olmak üzere matrisin sütunları birbirine dik olacağından skaler çarpımdan $ab+cd=0$ olur.