Öncelikle kesiri iki parçaya ayırın:
esin(x)−1sin(x)+−2sin(x)x
Şimdi, yukaridaki yorumdaki Taylor açılımlarını kullanarak ex−1x ve sin(x)x fonksiyonlarının Taylor açılımlarını yazın. Sonra −2x fonksiyonunun 0'dan ötede, ve sin(x) fonksiyonunun her yerde sürekli olduklarını gözlemleyin. Bu da demektir ki Taylor açılımından
limx→0−2sin(x)x=−2limx→0sin(x)x=−2
elde ederiz. Öte yandan yine Taylor açılımından
limx→0esin(x)−1sin(x)=limt→0et−1t=1
elde ederiz.