Bir tam sayının karesinin 4 ile bölümünden kalanların oluşturduğu küme {0,1} dir.

Question

Buna göre , m ve n dogal sayilar olmak uzere,

$3!+4!+5!+...+m!=n^2$

Esitligini saglayan kac farkli m sayisi vardir

Comments

İfadenin her iki tarafını da dörde bölüp kalanlara bak. İpucu: $4!$'in $4$ ile bölümünden kalan kaçtır? $5!$? $3!$?

Answer 1

    Eşitliğin sol tarafının $4$ ile bölümünden kalan sadece $3!=6$  'dan gelir. O da $2$ dir. $4!$ ve daha büyük sayıların içinde $4$ çarpanı olduğundan bunlar $4$ ile tam bölünürler,yani sıfır kalanı verirler. 

    Bu eşitliğin sol tarafı $4$'e bölündüğünde $2$ kalanı veriyorsa sağ tarafı da $2$ kalanı vermelidir. Oysa bir doğal sayının karesi $4$'e bölündüğünde $2$ kalanı vermez( çünkü ya $0$ ya da $1$ kalanı verir.)  Bu sebeple bu eşitliği sağlayan $m,n$ doğal sayıları bulunamaz.