Öncelikle $p_n = a_1 . a_2 . \ldots a_n$ diyelim. Soru bize şunu soruyor: "Eğer $0 < |a_n| < 1$ olduğunu biliyorsak $\lim_{n \to \infty} p_n = 0$ diyebilir miyiz?"
Cevap hayır. Birkaç gözlem yapalım:
Öncelikle bütün $a_n$'lerin pozitif olduğu durumu inceleyelim.
Gözlem 1: Bu durumda her $a_n$ terimi $1$'den küçük olduğundan dolayı $p_{n} = p_{n-1}.a_n < p_{n-1} $ olması gerektiğini görüyoruz. Yani $p_n$ dizisi monoton (strictly) azalan bir dizi. Aynı zamanda alttan sıfırla sınırlı, zira pozitif sayıların çarpımı hep pozitif olmak zorunda. O halde mutlaka sıfır ile bir arasında bir yere yakınsaması gerekir. Yakınsadığı yer sıfır olmak zorunda mı? Olmasın diye uğraşalım.
Gözlem 2: En kolay akla gelen azalan ve sıfıra yakınsayan dizi $1/n$ dizisi. Eğer ben bunu $1/2$'ye yakınsayan bir dizi yapmak istiyorsam $(1/2) + (1/n)$ dizisini düşünebilirim. O zaman $p_n$ dizisini $(1/2) + (1/n)$ yapmaya çalışayım. Ufak bir sorun var, o da şu: Böyle yaparsam $p_1 = a_1 = 3/2$ oluyor ve $p_2 = a_1. a_2 = 3/2 . 1$ oluyor. Yani ilk iki terim biraz kötü. O yüzden ben bu diziyi biraz kaydıracağım ve üçüncü terimden başlıyormuş gibi yapacağım: yani $(1/2) + (1/n)$ dizisi yerine $$\frac{1}{2} + \frac{1}{n+2}$$ dizisini düşüneceğim. Amacım her seferinde $a_n$'yi öyle bir seçmek ki $p_n$ bu yukarıdaki diziye eşit olsun. Bunu başarabilir miyim?
Amaç: $p_1 = a_1 = 5/6$ olmak üzere, $n> 1$ için $a_n$ terimini nasıl seçmeliyim ki $$\frac{1}{2} + \frac{1}{n+2} = p_n = p_{n-1}.a_n = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{n+1}\right).a_n$$ olsun. Ama bu basit:
$$a_n = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{n+2}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{n+1}}$$ olmalı. Burada gerekli işlemleri yapınca
$$a_n = \frac{\frac{n+4}{2(n+2)}}{\frac{n+3}{2(n+1)}} = \frac{(n+1)(n+4)}{(n+3)(n+2)}$$ olması gerektiğini görüyoruz.
$(a_n)$ dizimizi inşa ettik. Bunun gerçekten işe yaradığını nereden bileceğiz? Tümevarımla $p_n$'nin istediğimiz 1/2 + 1/(n+2) dizisine eşit olduğunu gösterebiliriz.
Gözlem 3: Burada limitin $1/2$'ye eşit olmasını istediğimiz için, öyle seçtik. $1/3$ seçseydik başka bir dizi elde edebilirdik. Ayrıca işlemler kolay olsun diye $1/(n+2)$ ekledik. İsteseydik sıfıra yakınsayan ve limit olmasını istediğimiz değere ekleyince $1$'den büyük çıkmayan herhangi başka bir dizi alabilirdik. Yani aslında sayılamayacak sonsuzlukta örnek yazmak mümkün.
Gözlem 4: Yukarıda bütün $a_n$'lerin pozitif olduğunu düşünelim demiştim. Şimdi bulduğumuz örnekte çift terimlerin pozitif, tek terimlerin negatif olduğunu düşün. Bu durumda $p_n$ dizisi bir $-1/2$'nin soluna , bir $1/2$'nin sağına sıçrayacak sayı doğrusu üzerinde. Yani $p_n$ dizisinin limiti olmayacak.