kuvvet serileri

Question

$ln(1+x)$ fonksiyonunun $[-1/2 , 1/2]$ aralığındaki davranışı için verilen $$\ln (1 + x) \simeq x - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^4}}}{4}$$ kestiriminin hata terimi nedir? Bu kestirim ile elde edilen değer gerçek değere ne kadar yaklaşıktır?

Comments

Türkçe lütfen.

---

Determine the accuracy of the approximation :  $ln(1+x)$ in $[-1/2 , 1/2]$ araliginda verilen yaklasik seri aciliminin ne kadar hata ile dogru oldugunu bulun. (sanirim) 

Answer 1

Kalanlı Taylor Teoremi:

$f,\ a$ ve $b$ sayılarını içeren bir aralıkta $n+1$ kez türevlenebilen bir fonksiyon ise

$$f(b)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}$$ olacak şekilde ($a$ ile $b$ arasında, ikisinden de farklı) bir $c$ sayısı vardır. Buradan (aralıktaki her $x$ için)

$$\left|f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\right|=\left| \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\right|$$

elde edilir. Tek yapılması gereken sağdaki sayılara bir üst sınır bulmaktır.