Fonksiyon $f(x)=\frac{x-f(x)}{3x}$ olduğuna göre , $f^{-1}(\frac{2}{3})$

Question

 $f(x)=\frac{x-f(x)}{3x}$

olduğuna göre, $f^{-1}(\frac{2}{3})$

bulduğum;

$f(x)=\frac{x-f(x)}{3x}$ =>    $f(x)=\frac{3}{3x+1}$ 

buradan  da  $\frac{2}{3}$ buluyorum?

Comments

$f(x)=\frac{x}{3x+1}\Rightarrow f^{-1}(x)=\frac{x}{1-3x}$ dir. Çözümünüzü kontrol ediniz.

---

@murater pay $3$ değil $x$ olacak değil mi? Typo var sanki. $3x=6x+2$ elde ediyorsun buradan. Sonucu nasıl bulduğunu biraz daha açarsan hatayı daha rahat görebiliriz.

---

aynen hocam dediğiniz gibi ben yanlış yazmışım ama yine de işlemlerimi yazayım bir bakın dilerseniz;

sırasıyla;

 $f(x)=\frac{x-f(x)}{3x}$ ifadede içler dışlar yaptım öncelikle

$f(x).3x=x-f(x)$

$f(x)3x+f(x)=x$

$f(x)(3x+1)=x$

 $f(x)=\frac{x}{3x+1}$

 $f(x)^{-1}=\frac{x}{3x+1}$

tersini alırken işaretlerde yanılmışım sanırım şimdi baktım da 

Bu arada sormak istediğim bir nokta var , bir çözümde şöyle yapılmış ama tam olarak anlayamadım;

 $f(x)=\frac{x}{3x+1}$ şu ifadeye ulaştıktan sonra denmiş ki 

 $\frac{x}{3x+1}$=$\frac{2}{3}$ bunu nasıl eşitleyebiliyor? sonuç doğru çıkıyor evet ama mantığı nedir ? 

adam hiç tersini almak için bile uğraşmamış?

teşekkürler.

---

Öncelikle ters fonksiyonu yine yanlış bulmuşsun. Onu düzeltmelisin. Diğeri ise, $f^{-1}(\frac 23)$'in değeri istendiğinden $f^{-1}(\frac 23)=k\Rightarrow f(k)=\frac 23$ den bulunur. Bu yol ters fonksiyonu bulmadan daha kısadır.

---

Soru şu: Hangi $x$ (ya da $x$ler) için $f(x)=2/3$ olur?

Bunu hep böyle uzun uzun yazmamak için bir notasyon geliştirmişiz: $f^{-1}(2/3)=?$

$f(x)=x/(3x+1)$ olduğuna göre soru şuna dönüyor:

Hangi $x$ için $x/(3x+1) = 2/3$ olur? Buradan da ilk yorumda yazdığım denkleme varıyorsun. 

Ya böyle yapacaksın, ya da Mehmet Toktaş'ın dediği gibi ilk önce fonksiyonun tersini bulacaksın. Ama yyine denildiği gibi bu yöntem daha kolay bu durumda. 

---

mehmet hocam , evet tersini yanlış bulmuşum şöyle olmalıydı değil mi?

 $f(x)^{-1}=\frac{x}{1-3x}$

bunun haricinde diğer sorum için 

 $f^{-1}(\frac{2}{3})=k$=> $f(k)=(\frac{2}{3})$ demişsiniz evet bunu anlıyorum, bazen kullanıyorum da fakat verdiğim örnek ile bunun bağlantısını kuramadım?

bahsettiğim çözümde şöyle yapılmış

 $f(x)=\frac{x}{3x+1}$ şu ifadeye ulaştıktan sonra denmiş ki 

 $\frac{x}{3x+1}$=$\frac{2}{3}$ bunu nasıl eşitleyebiliyor? 

yani f yok ve fonksiyonun tersinde de $\frac{x}{3x+1}$ olayı var yani x yerine $\frac{2}{3}$ yazılacak ve bu çözülecek?

direk nasıl $\frac{x}{3x+1}$=$\frac{2}{3}$ bu eşitlik yazılabilir?

teşekkürler.

---

Ben tekrar edeyim:

Soru: $f^{-1}(2/3) = ?$

Aynı soru: Hangi $x$ için $f(x)=2/3$ olur?

Bu iki soru aynı soru.

Sen $f(x)$'i bulmuşsun: $f(x)=x/(3x+1)$. 

O zaman ikinci soru şu oluyor

Hangi $x$ için $x/(3x+1)=2/3$ olur?

---

ozgür hocam iyi tekrar ettiniz şimdi anladım :) teşekkürler