Üçgenle ilgili güzel bir limit sorusu.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
883 kez görüntülendi

Bir dik üçgenin bir dik kenarının uzunluğu $1$, diğerinin uzunluğu $y$ ve hipotenüsü $r$ dir.$y$'nin karşısındaki açının radyan ölçüsü $\theta$  dır.$\theta\to\pi/2$ iken aşşağıdaki limitleri bulunuz.
image  

S.1)  $\lim\limits_{\theta\to(\frac{\pi}{2})^-}r-y=?$

S.2)  $\lim\limits_{\theta\to(\frac{\pi}{2})^-}r^2-y^2=?$

S.3)  $\lim\limits_{\theta\to(\frac{\pi}{2})^-}r^3-y^3=?$

16, Temmuz, 2016 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Anil (7,729 puan) tarafından  soruldu
17, Temmuz, 2016 Anil tarafından düzenlendi

İlk hali ile soru yoktu, kusura bakmayın.

$\pi/2^-$ mi, yoksa direkt $\pi/2$ mi?

direkt pi/2 hocam 

sagdan nasil yaklasiyoruz peki?

sagdan nasil yanasabiliriz?

dün bunu ben de düşündüm ama anlaşılan şey bariz olduğundan detaylandırmayı önemsememiştim, sabah bunu sordugunuzda benim düşündüğüm şeyi kastettıgınızı anlamamıştım.Haklısınız dikkat etmek gerek.Sağdan yanaşamayız , üçgen tanımına aykırı olur, dik kenar oldugundan $\theta=90+\epsilon\quad\Longrightarrow\quad 90+\epsilon+90+3.açı$ mümkün değildir ,bir üçgen belirtmez. soldan diye eklemeliyim

3 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Merhabalar

Cos $\theta$=1/r  

Tan $\theta$=y/1

$\frac{1}{cos\theta  }$ -Tan $\theta$

 $\frac{1-sin \theta}{cos\theta  }$

=$\frac{0}{0}$ belirsizligi (verilen limit degeri yerine yazılirsa)


L'hopital ile $\frac{-cos\theta}{-sin\theta  }$=0 (verilen limit degeri yerine yazılirsa).
Ilki benden olsun (:
Kolay gelsin.


17, Temmuz, 2016 matbaz (2,776 puan) tarafından  cevaplandı

2.yi de ben yapayım, umarım 3. yü de hedeflediğim gibi ögrenciler yapar :D

Bi sorunun cevabini uce bolmemek lazim. Uce bolunecekse tek tek sormak lazim. 8000 karaktere kadar tabi :)

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$r=sec\theta$    ve    $y=tan\theta$
  
olduğundan, $r^2-y^2=\dfrac{1-sin^2\theta}{cos^2\theta}$   olur ve,


$\lim\limits_{\theta \to (\pi/2)^-}\dfrac{1-sin^2\theta}{cos^2\theta}=0/0$      ,   $cos^2\theta=1-sin^2\theta$ olduğundan limit $1$ dir ve kesin olsun diye l'hôpital alalım,

$\lim\limits_{\theta \to (\pi/2)^-}\dfrac{1-sin^2\theta}{cos^2\theta}=0/0\quad\quad \quad \underbrace{\Longrightarrow}_{l'hôpital uygularız}\quad\quad \quad\lim\limits_{\theta \to (\pi/2)^-}\dfrac{-2sin\theta.cos\theta}{-2cos\theta.sin\theta}=1$ 

17, Temmuz, 2016 Anil (7,729 puan) tarafından  cevaplandı
17, Temmuz, 2016 Anil tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme
2. soru için, $\theta \to 90^o$ olduğundan, yani hiçbir zaman $90^o$ olmayacağından, $r^2-y^2=1$ olmalıdır. Bu ifadeyi çarpanlarına ayıralım, $\displaystyle \lim _{ \theta \to \frac{\pi}{2}}r^2-y^2=\lim _{ \theta \to \frac{\pi}{2}}(r-y)(r+y)=1$ ve $\displaystyle\lim _{ \theta \to \frac{\pi}{2}}r+y$ ifadesi sonsuza ıraksadığından $\displaystyle\lim _{ \theta \to \frac{\pi}{2}}r-y=0$ olmalıdır. ($0.\infty$ belirsizliğinden dolayı)

3. soru için biraz daha işleme ihtiyacımız var. $r=\frac{1}{cos\theta}$ ve $y=tan\theta$ olduğundan $r^3-y^3=\frac{1}{cos^3\theta}-\frac{sin^3\theta}{cos^3\theta}=\frac{1-sin^3\theta}{cos^3\theta}$ olmalıdır. Limit işlemimizi yaparsak $\displaystyle \lim _{\theta \to \frac\pi 2}\frac{1-sin^3\theta}{cos^3\theta}=\frac 00$ belirsizliğini elde ederiz. L'hopital yaparsak $\frac{-3.cos\theta.sin^2\theta}{-3.sin\theta.cos^2\theta}=\frac{sin\theta}{cos\theta}=\infty$ buluruz.
17, Temmuz, 2016 sonelektrikbukucu (2,871 puan) tarafından  cevaplandı

Foton bu yorumu da gorur. Simdi $r^2-y^2=1$ degil mi her zaman? Cok ugrasmaya gerek yok.

$\theta<\frac\pi2$ için öyle, biz de bu şartı aşmadık diye düşünüyorum :)

En ust yorunda da sagdan yaklasmayi sordum, soru altinda, ona da cevap bekliyorum :)

Evet orada bir hata var gibi :)

ya benımkı gıbı karızma notasyonlu cevaplar hıç yok:S:S

Sekil vs guzel de...

edited.          

...