Ekstremum nokta

Question

Grafikte verilen noktalar için ekstremum noktaların olup olmadığını sebepleriyle birlikte açıklayabilir misiniz hocam? 

Comments

he bir de soruyu açıklayacam dıye unutmuşum, soru kurallara tam uygun degıl, bundan sonrakı sorularınızda ve bu soruda eğer mümkünse, gereklı gorselın fotorafını çekın ve iyice kırpın, yazılı yerlerı elle ve latexle yazınız.

"emek verin, emek alın"

Answer 1

İlk olarak şunu anlamamız gerek, yerel minimum ve maksimum için türevin işaretinin değişmesi gerekmekte veya sınır değerlerinin maksimum ve minimumlarını araştırmamız gerekmektedir.

Reel sayılar yoğundur , bu ne demek? bunu anlamak için aşşağıda verdiğim örnege kafa yorabilirsiniz,

$a>0$  olan bir reel sayı ise $a$ nın minimum değeri nedir?

Cevap, yoktur, çünki $0$ 'a yakın hangi sayıyı seçersek seçelim hep daha küçüğünü yani  $0$  'a daha yakınını buluruz ve bu böylece sonu olmayan bir şekilde gider durur.

Teoremler,

Tanım(extrem değer teoremi):

$f$, kapalı bir $[a,b]$ aralığının her noktasında sürekli ise, bir mutlak maximum değer $M$'ye ve 

bir minimum değeri $m$'ye $[a,b]$ içinde erişir. Yani,$[a,b]$'da  ,$f(x_1)=m$   ve   $f(x_2)=M$  olacak şekilde,

$x_1,x_2$  sayıları vardır ve  $[a,b]$'daki diğer her bir $x$ için $m\le f(x)\le M$

Tanım(yerel maximum):

Bir $f$ fonksiyonunun, tanım aralığının bir $c$ iç noktasında,

$c$'yi içeren bir açık aralıkta her $x$ için $f(x)\le f(c)$ ise,bir yerel maximum değeri vardır. 

Tanım(yerel minimum):

Bir $f$ fonksiyonunun , tanım aralığının bir $c$ iç noktasında,

$c$'yi içeren bir açık aralıktaki her $x$  için $f(x)\ge f(c)$ ise, bir yerel minimumu vardır. 

Ayrıca, 
http://matkafasi.com/79923/%24-boxed-text-tanimlar-%24kalkulus-tanimlarini-yazalim-3?show=79923#q79923

http://matkafasi.com/80072/%24-boxed-text-tanimlar-%24-kalkulus-tanimlarini-yazalim-4

bu linklere bakabilirsiniz ancak buradaki teoremler süreklilikle incelenir, bu soru için çok yeterli kalmazlar,yorumlamaya ihtiyacımız var.

Analize başlayalım,

En baştaki ,"$a>0$  olan bir reel sayı ise $a$ nın minimum değeri nedir?"  örneğindeki mantıkla, $x=2$ noktasındaki extremleri incelersek, görüyoruz ki $f(2)$ tanımlı değil dolayısıyla $f(2)$ 'e çok yakın olan noktalar büyük ancak , yoğunluktan dolayı tek bir maksimum değer veremiyoruz dolayısıyla $x=2$ de ekstrem nokta yoktur.

Verilen teoremler ve linklerden görülecektir ki, $x=4^-$ de türev negativ $x=4^+$ da türev pozitiv ve $x=4$ komşuluğunda fonksiyon süreklidir o zaman kesinlikle $x=4$ noktası bir ekstrem noktadır.

$x=10$  komşuluğunda süreklidir ancak sağdan ve soldan türevleri hep pozitivdir dolayısıyla ekstrem nokta degıldır (sezgisel olarak grafiği incelersek görüyoruzki x=10 etrafında bir ekstremlik yoktur, ayrıca türev de yoktur ancak bu bizim konumuz degıl bu soru için)

Sorunun cevabında katılmadıgım nokta $x=15$ de bir yerel maks oldugunu soylemesıdır, $x=15$ komşulugunda $x=15$ hariç süreklidir ve $f(c)>f(15)$ olan sonsuz sayıda nokta vardır dolayısıyla $x=15$ ekstrem değer olamaz, $f(15)$ çook yukarlarda olsaydı yani $\lim\limits_{x\to15}f(x)$ den büyük olsaydı o zaman $x=15$ bir yerel maks ekstrem değeridir diyebilirdik.

Gene sorudaki cevaba katılamıyorum ,$[18-\epsilon,20+\epsilon](\epsilon\in\mathbb R^+)$   aralığı için düşünürsek, bu aralıktaki yerel ekstrem değerleri $x\in (18,20)$  noktalarının hepsini sağlar ve yerel minimumlardır.

$x=28$ de türev olmamasına rağmen $x=28^-$ ve $x=28^+$ da türevlerin işaretleri ters ve grafik ile bu bilgi göz önüne alınırsa  ve $x=28$ komşuluğunda herzaman $f(x)<f(28)$ sağlandıgından $x=28$ bir yerel max ekstrem degerıdır dıyebılırız.

Fonksiyon  $x\in[0,30]$ aralığında tanımlı oldugundan ekstrem teoremıne gore sınırları ıncelerız ve $x=0$ tanımlı degıldır ve ekstrem nokta olma şansını kaybeder (bahsedilemez), $x=30$ tanımlıdır ve komşuluklarında hep daha küçük  ve soldan türevi negativ oldugundan $x=30$ bir yerel minimal noktasıdır/değeridir.


Soruya ek, $[0,a] , (a\in\mathbb R^+)$  aralığını incelersek $x=0$ noktası vardır ve $x=0$ komşuluğunda yani tanımlı olan sadece sağ komşuluğu oldugundan , sağ komşuluğunda hep en yüksek değerdir dolayısıyla $x=0$ noktasını içeren bir aralık için $x=0$ bir yerel maksimum ekstremum noktasıdır.

Comments

Hocam cevap için teşekkürler, kafamdaki soru işaretleri gitti. Sadece x=0 noktası için bir sorum var. f(0) noktası sorudakinin aksine lim(x->0) f(x)'e eşit olsa yani fonksiyon sıfır noktasında sürekli olsa ya da grafiktekinin aksine f(0) çok yukarda değil de çok aşağıda olsaydı x=0 ekstremum noktadır diyebiliriz değil mi?

---

hayır hayır yanlış yapmışım, nasıl ki,x=15 noktasında daha yukarda olasa ekstrem nokta olur varsayımını yaptıysak $x=0$ da bir ekstrem noktadır,  soruda $(0,2)$ alınmış, $[0,2)$ veya $[0,2]$ aralığı alınsaydı $x=0$ yerek maksımum noktası derdık, ben ilk baktıgımda $x=0$ hiç yok anladım oradakı noktayı gormemışım.

---

Düzeltmen için teşekkürler, soruya en sona bır ekleme yaptım.

---

Anladım, sağolun hocam

---

hoca değilim, sizler de sağolun iyi çalışmalar dilerim :):)

Answer 2

Merhabalar. Apsisi a olan noktanin yerel ekstremum olmasi için  ε >0 olmak uzere  (a-ε ,a+ ε ) araligindaki her x için f(a)≥ f(x) {yerel max}  veya f(x) ≥ f(a)  {yerel min} olmasi gerekir. Başka bir deyişle a yi merkez alan bir komşulukta daha buyuk (veya daha kucuk) degerler yoksa a yerel ekstremumun apsisi olur.

Örnegin x=30 u iceren bir araliga bakarsaniz sag da fonksiyon tanimsiz soldaki degerler ise f(30) dan daha buyuk oldugunda  bu nokta yerel min noktasidir.

Benzer şekilde x=0 için yerel maksimum vardir.X=15 için yerel minimum olmali.Açiklamalarin bazilari sanki hatali. (Belki de tanimda kucuk eşit yerine sadece küçük gibi düşünülmüş).

Sanirim daha yeterli bir hocamizin bakmasi daha uygun olacak

Kolay gelsin