Son derece ilginç değil mi?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
109 kez görüntülendi

 Euler sayısı olarak da bilinen  ve $1+\frac1{1!}+\frac1{2!}+\frac1{3!}+..$ toplamına eşit olan , irrasyonel bir sayı:"e"

Diğer tarafta en  az "e"  kadar tanınmış diğer bir irrasyonel sayı pi:   "$\pi$", 

Yine gizemine tam vakıf olamadığımız diğer bir ünlü sayı, sanal birim:" $i=\sqrt{-1}$ "

Bu eşsiz üçlünün  harikulade bileşimleri, büyük bir sihirle $e^{î\pi}=-1$ nasıl olabilir? Bu; bütün matematiği anlatan bir eşitlik midir? değil midir?

21, Nisan, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Mehmet Toktaş (18,280 puan) tarafından  soruldu

Tabii önce bir reel sayının i'ninci ve pi'ninci kuvvetinin nasıl alınacağını tanımlamak lazım. Nasıl tanımlandığını bilen biri yazabilirse sevinirim. Tabii sonrasında $e^ix = cosx + isinx$ eşitliği kanıtlıyor.Burada x yerine pi alınca istenilen eşitlik elde ediliyor. Tabii ki matematikte sıkça kullanılan  3 ifadeyi de içermesi yönünden 'güzel' bir eşitlik.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$e^{x}$ = $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ taylor açılımından yararlanalım, x yerine ${i\pi}$ yazalım.

$e^{i\pi}$ = $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{({i\pi})^n}{n!}$

$e^{i\pi}$ = $1+{\frac{i\pi}{1!}}-{\frac{\pi^2}{2!}}-{\frac{i\pi^3}{3!}}+{\frac{\pi^4}{4!}}+{\frac{i\pi^5}{5!}}-{\frac{\pi^6}{6!}}-{\frac{i\pi^7}{7!}}+{\frac{\pi^8}{8!}}+...$

$e^{i\pi}$ = $i$.(${\frac{\pi}{1!}}-{\frac{\pi^3}{3!}}+{\frac{\pi^5}{5!}}-{\frac{\pi^7}{7!}}+{\frac{\pi^9}{9!}}-...$)+($1-{\frac{\pi^2}{2!}}+{\frac{\pi^4}{4!}}-{\frac{\pi^6}{6!}}+{\frac{\pi^8}{8!}}-...$)

burada $sin({x})$ ve $cos({x})$ in Taylor açılımından faydalanırsak;

$e^{i\pi}$ = $i$.$sin({\pi})$+$cos({\pi})$=$-1$  

21, Nisan, 2015 ece çelik (334 puan) tarafından  cevaplandı

Bu cevaba gore ilginc degilmis.

ama hala ilginç :)  

...