Tanım 1: \emptyset \neq A \subset \mathbb{R}, f:A\longrightarrow \mathbb{R} fonksiyon, a\in \mathbb{R}, a\in D(A) ve L\in \mathbb{R} olmak üzere
\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L:\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(x\in (a-\delta,a+\delta)\cap A\rightarrow \mid f(x)-L \mid <\epsilon)
Tanım 2: \emptyset \neq A \subset \mathbb{R}, f:A\longrightarrow \mathbb{R} fonksiyon, a\in \mathbb{R}, a\in D(A\cap (a,\infty)) ve L\in \mathbb{R} olmak üzere
\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=L:\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(x\in (a,a+\delta)\cap A\rightarrow \mid f(x)-L \mid <\epsilon)
Tanım 3: \emptyset \neq A \subset \mathbb{R}, f:A\longrightarrow \mathbb{R} fonksiyon, a\in \mathbb{R}, a\in D(A\cap (-\infty,a)) ve L\in \mathbb{R} olmak üzere
\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)=L:\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(x\in (a-\delta,a)\cap A\rightarrow \mid f(x)-L \mid <\epsilon)
Şimdi f(x)=x^{\frac{1}{x}} kurali ile verilen f:(0,\infty)\rightarrow \mathbb{R} fonksiyonunu ele alalım. 0\in D((0,\infty)\cap (0,\infty))=D((0,\infty))=[0,\infty) olduğundan f fonksiyonunun 0 noktasındaki sağdan limitinden bahsedebiliriz. Her \epsilon >0 sayısı için öyle bir \delta >0 pozitif sayısı bulmalıyız ki x\in (0,0+\delta)\cap (0,\infty)\rightarrow \mid x^{\frac{1}{x}}-0 \mid <\epsilon koşulu yani x\in (0,\delta)\rightarrow \mid x^{\frac{1}{x}} \mid <\epsilon koşulu sağlansın. x\in (0,\delta)\Rightarrow 0<x<\delta\leq 1 kısıtını koyabiliriz. Buradan
0<x<\delta\leq 1\Rightarrow 1\leq \frac{1}{\delta}<\frac{1}{x} olur ve yeterince küçük x değerleri için \mid x^{\frac{1}{x}}\mid =x^{\frac{1}{x}} \leq x^{\frac{1}{\delta}}<\delta^{\frac{1}{\delta}}<\epsilon elde edilir. Bunu 0<x<\delta\leq 1 kısıtı altında bulduğumuzdan \delta sayısını 0<\delta\leq \min\{1,\alpha\} \,\ (\alpha\in \{\delta \mid \delta^{\frac{1}{\delta}}<\epsilon, \delta >0 \}) seçmek yeterli olacaktır. O halde
\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=0 olur.