Processing math: 0%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
12.3k kez görüntülendi

lim

Lisans Matematik kategorisinde (93 puan) tarafından  | 12.3k kez görüntülendi

0 noktasında limitten bahsedebilmemiz için 0 noktasının f(x)=x^{\frac{1}{x}}  kuralı ile verilen f fonksiyonunun tanım kümesinin bir yığılma noktası olması gerekir. Tanım kümesi belirtilmediği zaman (burada olduğu gibi) tanım kümesi olarak fonksiyonun tanımlı olduğu en geniş kümeyi alırız. Burada ise fonksiyonun tanım kümesini tespit etmek kolay gözükmüyor. Mesela fonksiyon negatif çift tamsayılar için tanımlı değil. f(x)=x^{\frac{1}{x}} kuralı ile verilen f fonksiyonunun tanım kümesini A=(0,\infty) alırsak 0\in D(A\cap (0,\infty))=[0,\infty) olacağından sağdan limitten bahsedebiliriz.

L'hospital a göre, türev alinirsa lnx^1/x=lny olsun. Ordan da 1/x lnx=lny olur. X sifira giderken limit sonsuz olur.

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

\varepsilon keyfi bir pozitif sayı olsun. Limitin tanımından, öyle \delta > 0 pozitif sayısı vardır ki her |x|<\delta için |x^{1/x}|<\varepsilon sağlanır. \frac{1}{|x|}>\frac{1}{\delta}>\delta'in olacağı için, yeterince küçük x değerleri için |x^{1/x}|<|x^{1/\delta}|<\delta^{1/\delta}<\delta sağlanır. Eğer \delta=\varepsilon seçersek o zaman istenen elde edilmiş olur. 

Veyâ daha pratik bir yolla ("logaritmanınlimitilimitinlogaritmasıdır" yoluyla), \lim_{x\rightarrow 0}\ln x^{1/x} limitini bulmamız yeter. Bu ise kolaydır: a=\lim_{x\rightarrow 0}\ln x^{1/x}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x}\ln x=-\infty O halde aranan limit: \lim_{a \rightarrow -\infty} e^{a} ifadesine eşittir. Bu ise aşikar ki 0'dır. 

(1.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Negatif deger icin \ln alabilecegimizi sanmiyorum. Fakat limit sifira gittigi icin mutlak degerinden gosterilebilir.

Bilgisayar grafiğini negatif bölgede çizmiyor. x=-2 ise o halde, (-2)^{-1/2}=\frac{1}{i\sqrt 2} kompleks sayı alınıyor. Yani reel sayılarda çalışıyorsak, x<0 değerleri fonksiyonun tanım bölgesinde olmuyor diyebiliriz. Böyle düşünmüştüm.

onemli olan var olan degerler icin sifirin yigilma noktasi olmasi.. soyle bir ornek vereyim: \{1,1/2,1/3,\cdots,1/n,\cdots\} icin yigilma noktasi 0.

Yani f(x)=1/x ve x \in \mathbb Z^*\subset \mathbb R alirsak \lim\limits_{x\rightarrow \infty}f(x)=0 olur.

Sağdan ve soldan limitler birbirine eşit değildir. Limti yoktur diyorum ben.

Onu cevap olarak ekleyebilir misin?

Simdi cozume baktim da Yasin hocam \delta'ya gore \epsilon secilmis. Fakat gosterilmesi gereken \epsilon icin \delta secmek.

Haklısın, öyle yapmışım! Düzeltmeye çalışayım, olmadı gizlerim.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Tanım 1: \emptyset \neq A \subset \mathbb{R}, f:A\longrightarrow \mathbb{R} fonksiyon, a\in \mathbb{R}, a\in D(A) ve L\in \mathbb{R} olmak üzere

\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L:\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(x\in (a-\delta,a+\delta)\cap A\rightarrow \mid f(x)-L \mid <\epsilon)

Tanım 2: \emptyset \neq A \subset \mathbb{R}, f:A\longrightarrow \mathbb{R} fonksiyon, a\in \mathbb{R}, a\in D(A\cap (a,\infty)) ve L\in \mathbb{R} olmak üzere

\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=L:\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(x\in (a,a+\delta)\cap A\rightarrow \mid f(x)-L \mid <\epsilon)

Tanım 3: \emptyset \neq A \subset \mathbb{R}, f:A\longrightarrow \mathbb{R} fonksiyon, a\in \mathbb{R}, a\in D(A\cap (-\infty,a)) ve L\in \mathbb{R} olmak üzere

\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)=L:\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(x\in (a-\delta,a)\cap A\rightarrow \mid f(x)-L \mid <\epsilon)

Şimdi f(x)=x^{\frac{1}{x}} kurali ile verilen f:(0,\infty)\rightarrow \mathbb{R} fonksiyonunu ele alalım. 0\in D((0,\infty)\cap (0,\infty))=D((0,\infty))=[0,\infty) olduğundan f fonksiyonunun 0 noktasındaki sağdan limitinden bahsedebiliriz. Her \epsilon >0 sayısı için öyle bir  \delta >0 pozitif sayısı bulmalıyız ki x\in (0,0+\delta)\cap  (0,\infty)\rightarrow \mid x^{\frac{1}{x}}-0 \mid <\epsilon koşulu yani x\in (0,\delta)\rightarrow \mid x^{\frac{1}{x}} \mid <\epsilon koşulu sağlansın. x\in (0,\delta)\Rightarrow 0<x<\delta\leq 1 kısıtını koyabiliriz. Buradan

0<x<\delta\leq 1\Rightarrow 1\leq \frac{1}{\delta}<\frac{1}{x} olur ve yeterince küçük x değerleri için \mid x^{\frac{1}{x}}\mid =x^{\frac{1}{x}} \leq x^{\frac{1}{\delta}}<\delta^{\frac{1}{\delta}}<\epsilon  elde edilir. Bunu 0<x<\delta\leq 1 kısıtı altında bulduğumuzdan \delta sayısını 0<\delta\leq \min\{1,\alpha\} \,\ (\alpha\in \{\delta \mid \delta^{\frac{1}{\delta}}<\epsilon, \delta >0 \})  seçmek yeterli olacaktır. O halde 

\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=0 olur. 


(11.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,324 soru
21,883 cevap
73,601 yorum
2,953,692 kullanıcı