Limit

Question

$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\left( \sin 4x\right) ^{2}} {x^{2}\cos 3x}$ limitinin yaniti nedir? 

$0/0$ belirsizligi var diyerek L.Hospital ile yapmayi denedim olmadi. 

 Diger cozum var bir de ust kismin paydasina $16x$ kare ve carpi $16 x$ kare koyarak bi cozum geliyor . 

Merak ettigim su L hospital ile neden cozemedim .Bir de bu 2. cozumdeki islemi sadece $x$  $0$ a giderken mi yapabilirim? 

Answer 1

Merabalar

$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\left( \sin 4x\right) ^{2}} {x^{2}.\cos 3\times } = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\  \sin4x.sin 4x\   } {x .x.\cos 3\times }$
olarak ifadeyi daha açık yazalım
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\  \sin4x \   } {x   }=4$ ve $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\   1   } {cos3x   }=1$  olduğundan ve  f ve g nin x=0 için limiti var olduğunda  $\lim _{x\rightarrow 0}\  f   . \lim _{x\rightarrow 0}\  g = \lim _{x\rightarrow 0}\  (f. g)$
olduğundan

  $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\  \sin4x \   } {x   }.   \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\  \sin4x \   } {x   }.   \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\  1   } {cos3x   }= \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\left( \sin 4x\right) ^{2}} {x^{2}.\cos 3\times } =  4.4.1=16$ olarak elde edilir

L'hopital ile çözememe sebebiniz muhtemelen L'Hopitalin 1 kereden daha fazla gerekmesinden olmalı. L'hopital adımından sonra tekrar limit alıp  belirsizliğin kalktığını gördünüz mü? . Trigonometrik 0/0 olan $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\  \sin x \   } {x   }   =1$ ifadesi ve genellemesi ile bazen L'hoital'e gerek duymadan (veya daha kısa mesela buradaki gibi)  sonuca gidilebilir. 2. cozumdeki islemi sadece x 0 a giderken mi yapabilirim?  sorusunun cevabı kısmen hayır .Mesela  $\lim _{x\rightarrow 2}\dfrac {\  \sin (x-2) \   } {x-2   }   =1$ sonucu da x-2=t olsun diyerek değişken değiştirme ile ana teoreme benzetip çözebilirsiniz.

iyi çalışmalar...

Comments

Anladim , cok tesekkurler elinize saglik.