Question

$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{ax^3+bx^2+2}{x^2-2x+1}=m$ olduğuna göre, $m$ reel sayısı kaçtır?

Comments

pay, x-1'e Horner yöntemi ile bulunursa, ikinci dereceden ifade elde edilir.

x=1 için 2+a+b=0, m=a-4  bulunur.

Answer 1

Limitin olmasi icin payin $(x-1)^2$ ifadesine  bolunmesi lazim. Buradan $$a+b+2=0 \;\;\;\text{ve}\;\;\; 3a+2b=0$$ gelir. Buradan $a$, $b$ ve geriye kalan ucuncu carpan ve dolayisiyla limit degeri $m$ bulunabilir.

Bu ezber bilgiden ziyade ust polinoma $P(x)$ dersek  $$\lim\limits_{x\to1}\frac{P(x)}{(x-1)^2}=m\;\;\;\text{ ve }\;\;\;\lim\limits_{x\to1}(x-1)^2=0$$ oldugundan, ve dolayisiyla var oldugundan, $$a+b+2=P(1)=\lim\limits_{x\to1}P(x)=\lim\limits_{x\to1}\frac{P(x)}{(x-1)^2}(x-1)^2=\lim\limits_{x\to1}\frac{P(x)}{(x-1)^2}\cdot\lim\limits_{x\to1}(x-1)^2=m\cdot 0=0$$ olur. Ayrica $$\lim\limits_{x\to1}\frac{P(x)}{(x-1)^2}=m\;\;\;\text{ ve }\;\;\;\lim\limits_{x\to1}(x-1)=0$$ oldugundan, ve dolayisiyla var oldugundan,   $$3a+2b=P^\prime(1)=\lim\limits_{x\to1}\frac{P(x)-P(1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}\frac{P(x)-0}{(x-1)^2}(x-1)=\lim\limits_{x\to1}\frac{P(x)}{(x-1)^2}\cdot\lim\limits_{x\to1}(x-1)=m\cdot 0=0$$ olur.

Comments

cevabınız için teşekkür ederim. elinize sağlık.