İntegralin asıl değeri , ingilizcesi "principal value of an integral" olan durum nedir açıklar mısınız?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
75 kez görüntülendi


4, Haziran, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Anil (7,729 puan) tarafından  soruldu

Ek kaynak,          image

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$\int_{-1}^2\frac1x\,dx$ integralini düşünelim.

Bu gibi (fonksiyon (="integrand" 0 yakınında sınırsız olduğundan)  integrallere "özge integral","has olmayan integral" veya (İngilizceden gelme) "impropr integral"  gibi adlar (ingilizce "improper integral")

veriliyor.

Bunlar için serilerdekine benzer bir yakınsaklık tanımı var ama o tanıma göre ($\displaystyle\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{-1}^{-\varepsilon}\frac1x\,dx$ ve $\displaystyle\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_\varepsilon^2\frac1x\,dx$ limitleri var olmadığı için) ıraksak oluyor. 

Ama bir hile ile integralleri birleştirdiğimizde toplamın limit var oluyor.

Ama $\displaystyle\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{-1}^{-\varepsilon}\frac1x\,dx+\int_\varepsilon^2\frac1x\,dx$ limiti var (bulması zor değil)

 Bu limite, $\int_{-1}^2\frac1x\,dx$ integralininin "esas değeri" (principal value) deniyor.

Böyle bir çok integral var.

Serilerde de benzer durum olabiliyor. Örneğin  (DÜZELTME)

$$\sum_{-\infty}^{+\infty}\frac1{n+\frac12}$$

serisinde de benzer durum oluyor. Ayrı ayrı 

$$\sum_{-\infty}^0\frac1{n+\frac12} \textrm{ ve } \sum_1^{+\infty}\frac1{n+\frac12}$$

serilerini her ikisi de ıraksaktır. Bu nedenle (standart tanıma göre) 

$$\sum_{-\infty}^{+\infty}\frac1{n+\frac12}$$ ıraksaktır. Ama

$$\lim_{N\to+\infty}\sum_{n=-N}^{N}\frac1{n+\frac12}=0$$ dır.

Benzer durum:

$$\sum_{n\in\mathbb{Z}}n$$ de de oluyor.

4, Haziran, 2016 DoganDonmez (3,711 puan) tarafından  cevaplandı
5, Haziran, 2016 DoganDonmez tarafından düzenlendi

Harmonik seri yakınsaktır demişim, elbette ki ıraksaktır. Düzelttim.

Hocam elinize sağlık, ama zaten tam olarak kavrayamadıgım olay da bu eş olan sonsuz diye bir kavram ortaya çıkıyor sanırım. $\infty-\infty$ tanımsız/belirsiz diyoruz ama toplam formuna sokarsak 0 mı buluyoruz.Gerçekten çok ilginç ve güzel .

Seri örneğinde bir saçmalık vardı düzelttim.

Aynen hocam $n=0$ için $1/n$ tanımsız oluyordu , şimdi daha güzel gözüküyor.teşekkürler.

...