Question

$$g\left( x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac {4} {x}&,&x>1\\ \dfrac {2} {x^{2}}+2&,&0 < x\leq 1\\ \dfrac {3} {\color{red}{x-1}}&,&x\leq 0\end{array}\right.$$ kuralı ile verilen $$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunun kaç tane $x$ gerçel sayısı için türevi yoktur? 

@yorum:x=0 için kritik noktadır dedim ve sağ ve sol limit inceledim.eşit değil,yani türevi olamaz.vede,x=-1 için en alttaki denklem tanımsız olduğundan türevi olamaz diye düşündüm.varmı +'sı eksi'si,teşekkürler.

Comments

$$g\left( x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac {4} {x}&,&x>1\\ \dfrac {2} {x^{2}}+2&,&0 < x\leq 1\\ \dfrac {3} {\color{red}{x-1}}&,&x\leq 0\end{array}\right.$$ kuralı ile verilen $$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunun kaç tane $x$ gerçel sayısı için türevi yoktur? şeklinde sorulursa soru anlamlı olur.

---

soruyu bu şekilde düzeltip cevap bekleyeyim

---

Bence iyi olur. En azından soru anlamlı olacaktır. Bu durumda $0$ ve $1$ noktalarında türevin olup olmadığına bakman yeterli olacaktır. Diğer noktalarda türevli olduğunu görmek zor olmasa gerek.

---

hocam soruda x+1 yalnız,

vede -1 noktası nasıl türevli oluyo ?

---

Soru yanlış sorulmuş dedim ya.

---

tamam kapatıyorum soruyu

---

Bence kapatma. Dediğim gibi düzelterek sor.

---

düzelmiştim zaten      

---

Düzelmemiş. Hala $x\leq 0$ için $\frac{3}{x+1}$ görünüyor. $\frac{3}{x+1}$ yerine $\frac{3}{x-1}$ yazarsan soru anlamlı olacak.

---

x+1 olunca ne oluyo hocam ?

---

$g$ bağıntısı fonksiyon olmuyor.

---

hocam siz yorum yazınca,bütün bildiklerimi unutmam gerekiyormuş gibi oluyor :)

---

Fonksiyon tanımını hatırlıyor musun?

---

grafiğinde paralel çizgi çekince tek noktada kesiyorsa fonksiyondur,kullandığım kitabın bana kattığı :)

---

O kitabı hemen terk et. Bu yazdığından da fonksiyon kavramının tanımını bilmediğin anlaşılıyor. Bu durumda fonksiyonlar ile ilgili sorulara sağlıklı bir yaklaşımda bulunamazsın. Bunun için sana fonksiyon kavramını iyice hazım etmeni tavsiye ederim. Buradaki linki incelemen senin için faydalı olacağı kanaatindeyim. Maalesef lisans öğrencileri bile fonksiyonlar ile ilgili birçok işlem yapmalarına karşın fonksiyon kavramının tam olarak tanımını yapamıyor ve sonra öğretmen olduktan sonra yetiştirdiği öğrenciler de kendisi gibi fonksiyon kavramını bilmeden sadece birtakım işlemler yapıyor. Mesela bir fonksiyon birebir mi? örten mi? sürekli mi? şu noktadaki limiti nedir? türevli mi? integrali nedir? sorularına (çoğu zaman yarım yamalak) cevap veriyorlar ama fonksiyon nedir? dendiğinde hiçbirinden tık ses çıkmıyor. Bu şekilde hiçbir yere varılamaz. 

---

kitabımda zaten fonksiyonun tanımı yok diyebilirim.konuyu çalıştık 1-1,örten Vb.sizin gibi bilgili hocalarımız soruncada mağdur oluyoruz :)

---

Sorunu dediğim gibi düzeltirsen sana cevabı yazarım.

---

düzelttim hocam,teşekkür ederim değerli yorumlarınız için...

---

En üsttekini unutmuşsun. Onu da düzeltir misin?

---

komple değiştim hocam çerçevelerde dahil :]

Answer 1

$$\lim\limits_{x\to 1^-}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^-}\frac{\frac{2}{x^2}+2-4}{x-1}=-4=\lim\limits_{x\to 1^+}\frac{\frac{4}{x}-4}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^+}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}$$

olduğundan

$$\lim\limits_{x\to 1}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}=-4$$ bulunur. Yani $g$ fonksiyonu $x=1$ noktasında türevlidir ve $$g'(1)=-4$$ olur.

Benzer şekilde $x=0$ noktasında türevli olup olmadığına bakabilirsin. Yukarıdaki gibi sağdan ve soldan türevleri hesaplarsan bunların birbirine eşit olmadığını göreceksin. Bu kısmını sana bırakıyorum.

Comments

0 için limiti bile yok,türevi olsun :).teşekkürler hocam emeğiniz için,herşey için.