Matrikslerde çarpma işlemini neden öyle yapıyoruz?

1 beğenilme 0 beğenilmeme
110 kez görüntülendi

$A=\left[ \begin{matrix}a & b\\ c&d \end{matrix} \right]$

$B=\left[ \begin{matrix} x&y \\ z&t \end{matrix} \right]$

$A.B=\left[ \begin{matrix} ax+bz&ay+bt \\cx+dz &cy+dt \end{matrix} \right]$

Burada neden "1.nin satırını" "2.nin sütunuyla" ve vs.vs. diye çarpıyoruz? nedeni nedir?

30, Mayıs, 2016 Serbest kategorisinde Anil (6,713 puan) tarafından  soruldu

sormak istediğim soru :)

Bir cevap yazmaya calistim. Sadece okursaniz buyuk ihtimalle hicbir sey anlamazsiniz. Ama ozellikle ucuncuyu, islemleri kontrol ederek kendi kendinize yazarak okumaya calisin. 5 dakika icerisinde butun gizemi cozmus olursunuz, cok zor bir sey degil.

1 cevap

4 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap
1) Elinde $$ax + by = s \\ cx+dy = t$$ gibi bir denklem sistemi olsun. Bunu cozmek icin bir denklemi bir sayiyla carpip digerinden cikariyorsun falan filan. Gunluk hayatimizda , teknolojide, muhendislikte falan bu denklemlerde boyle sadece $x,y$ gibi iki bilinmeyen degil, onlarca, yuzlerce bilinmeyen oluyor ve iki tane denklem degil onlarca denklem oluyor. Bir denklemi bir sayiyla carpip baska bir denklemden cikarma islemi onlarca kez yapiliyor. Bu durumda surekli bu $x$'leri $y$'leri yazmak istemiyorsun. Bunun yerine $$\begin{bmatrix} a & b \\ c& d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s \\ t \end{bmatrix}$$ yaziyorsun. Aslinda bu bir denklemi digerinden cikarma isleminde sadece katsayilarla ilgilendiginden, butun o artilari eksileri bilineyenleri yazmak yerine bu datayi sadece katsayilardan olusan bir matriste topluyorsun. Umarim bu biraz fikir vermistir. Bunu iki bilinmeyenli iki denklem yerine bes bilinmeyenli bes denklem gibi dusunursen, bunun cok ekonomik bir yontem oldugunu cok rahat anlayabilirsin.

Simdi elimizde $$\begin{bmatrix} a & b \\ c& d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} ax + by \\ cx +dy  \end{bmatrix}$$ esitligi var. Cunku $$\begin{bmatrix} ax+by \\ cx+dy\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s \\ t \end{bmatrix}$$oldugu bilgisiyle baslamistik en basta. Demek ki yukaridaki ekonomik, zaman kazandiran metodu uygulamak istiyorsak bir matrisle bir vektorun carpimi boyle tanimlanmali.

2) Simdi yapmak istedigimiz bu ekonomik ve zaman kazandiran yontemi kullaniyorsak iki matrisin carpiminin nasil olacagini kestirmek. Elimizde $$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix} \quad \text{ve} \quad \begin{bmatrix} x & z \\ y & w\end{bmatrix}$$ matrisi olsun. Br matris ile bir sutun vektorunu nasil carpmamiz gerektigini biliyorsak, bu iki matrisin carpimini sanki "ilk matrisin tamami ile ikinci matrisin sutun vektorlerini carpiyormus" gibi dusunebiliriz. Bu da bize tam olarak $$\begin{bmatrix} a & b \\ c& d\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & z \\ y& w\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by  & az + bw \\ cx+dy & cz + dw\end{bmatrix}$$ esitligini, yani bildigimiz matris carpiminin kuralini veriyor. Bu, her $m, n, k$ icin $m \times n$ matris ile $n \times k$ matirsi carpmanin kuralina da genisletilebilir ve neden sonucun $m \times k $ oldugunu da gormemize yardimci olur, tek yapmamiz gereken yukaridaki mantigi uygulamak.

3) Ote yandan soyle de dusunebilirsin: Her uygun boyutlu $A, B$ matrisi ve $v$ vektoru icin $(AB)v =A(Bv) $ olmasini istiyor olabilirsin. Bunu neden istiyor olman gerektigini dorduncu secenekte aciklayacagim. Ama simdilik bunu istedigimizi dusunelim. O halde elimizde $$v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2\end{bmatrix}$$ oldugunu varsayarak $$\left(\begin{bmatrix} a & b \\ c& d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}  x & z \\ y& w\end{bmatrix} \right)\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c& d \end{bmatrix}\left(\begin{bmatrix} x & z \\ y&w\end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} \right)$$ esitligi olmali. Bunu, birinci secenekteki ekonomik kuralimizi uygulayarak parantez icinden baslayarak yazalim: 
$$\begin{bmatrix} a & b \\ c& d \end{bmatrix}\left(\begin{bmatrix} x & z \\ y&w\end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} \right)= \begin{bmatrix} a & b \\ c& d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} xv_1 + zv_2  \\ yv_1 + wv_2 \end{bmatrix}$$ ve yine ayni kurali uygulayarak $$\begin{bmatrix} a & b \\ c& d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} xv_1 + zv_2  \\ yv_1 + wv_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a(xv_1 + zv_2) + b(yv_1 + wv_2) \\ c(xv_1 + zv_2) + d(yv_1+zv_2)\end{bmatrix}$$ Bu noktada parantez iclerini duzenleyip gerekli islemleri yaparsak $$\begin{bmatrix} a(xv_1 + zv_2) + b(yv_1 + wv_2) \\ c(xv_1 + zv_2) + d(yv_1+wv_2)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (ax + by )v_1 + (az+bw) v_2 \\ (cx+ dy) v_1 + (cz+dw)v_2\end{bmatrix}$$ oldugunu goruyoruz. Yine birinci secenekteki ekonomi kuralini uygularsak
$$\begin{bmatrix} (ax + by )v_1 + (az+bw) v_2 \\ (cx+ dy) v_1 + (cz+dw)v_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by  & az+bw \\ cx+ dy & cz+dw\end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}$$ elde ediyoruz. Demek ki $$\begin{bmatrix} a & b \\ c& d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}  x & z \\ y& w\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by  & az+bw \\ cx+ dy & cz+dw\end{bmatrix}$$ olmali.
30, Mayıs, 2016 Ozgur (2,083 puan) tarafından  cevaplandı
30, Mayıs, 2016 Anil tarafından seçilmiş

teşekkürler , elinize sağlık.

endomorfizmalarin bileşkesinden bu carpma yontemi çıkıyormuş bugun, Ali hocayla modul teorisi dersinde ispatladik

Dördüncü seçenek buydu. Yazmamışım.

$A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix}$ matrisinde 1. satır fotonyiyenadamın manavdan almış olduğu elma ve armutların miktarını göstersin(kg olarak). Yani fotonyiyenadam $a$ kg elma ve $b$ kg armut almış olsun. 2. satırda handana ait bilgiler yer alsın.
$B=\begin{bmatrix} x   \\ y \end{bmatrix}$ matrisi de sırasıyla $1$ kg elmanın fiyatını ve armutun fiyatını göstersin. Şimdi ikimizin de toplamda manava ödeyeceği miktarı bulmak istiyoruz. fotonyiyenadam $ax+by$ ve handan: $cx+dy$ TL para öderler.

Ek örnekleme için sağolun @Handan hocam.

Hocamlar ben "endoformizmaların bileşkesinden" bu durumu gösteremedim tam olarak nerden başlamalıyım?

1) $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ bir lineer fonksiyon olsun. Her $x \in \mathbb{R}^n$ için $f(x) = Ax$ olacak bir $m \times n$ matris vardır. $\{e_1, \ldots, e_n\}$, $\mathbb{R}^n$'nin standard tabanı olmak üzere bu $A$ matrisinin $j$inci satırı $f(e_j) \in \mathbb{R^m}$ kolon vektörüdür.

Bu nasıl, bununla sıkıntın var mı?

2) Aynı şeyi $g: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^k$ lineer fonksiyonu için yap ve bir $B$ matrisi elde et.

3) Aynı şeyi $g \circ f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^k$ lineer fonksiyonu için yap ve bir $C$ matrisi elde et.

4) $C = BA$ olması gerektiğini gör.

Çok teşekkürler abi :)

...