1) Elinde $$ax + by = s \\ cx+dy = t$$ gibi bir denklem sistemi olsun. Bunu cozmek icin bir denklemi bir sayiyla carpip digerinden cikariyorsun falan filan. Gunluk hayatimizda , teknolojide, muhendislikte falan bu denklemlerde boyle sadece $x,y$ gibi iki bilinmeyen degil, onlarca, yuzlerce bilinmeyen oluyor ve iki tane denklem degil onlarca denklem oluyor. Bir denklemi bir sayiyla carpip baska bir denklemden cikarma islemi onlarca kez yapiliyor. Bu durumda surekli bu $x$'leri $y$'leri yazmak istemiyorsun. Bunun yerine $$\begin{bmatrix} a & b \\ c& d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s \\ t \end{bmatrix}$$ yaziyorsun. Aslinda bu bir denklemi digerinden cikarma isleminde sadece katsayilarla ilgilendiginden, butun o artilari eksileri bilineyenleri yazmak yerine bu datayi sadece katsayilardan olusan bir matriste topluyorsun. Umarim bu biraz fikir vermistir. Bunu iki bilinmeyenli iki denklem yerine bes bilinmeyenli bes denklem gibi dusunursen, bunun cok ekonomik bir yontem oldugunu cok rahat anlayabilirsin.
Simdi elimizde $$\begin{bmatrix} a & b \\ c& d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} ax + by \\ cx +dy \end{bmatrix}$$ esitligi var. Cunku $$\begin{bmatrix} ax+by \\ cx+dy\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s \\ t \end{bmatrix}$$oldugu bilgisiyle baslamistik en basta. Demek ki yukaridaki ekonomik, zaman kazandiran metodu uygulamak istiyorsak bir matrisle bir vektorun carpimi boyle tanimlanmali.
2) Simdi yapmak istedigimiz bu ekonomik ve zaman kazandiran yontemi kullaniyorsak iki matrisin carpiminin nasil olacagini kestirmek. Elimizde $$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix} \quad \text{ve} \quad \begin{bmatrix} x & z \\ y & w\end{bmatrix}$$ matrisi olsun. Br matris ile bir sutun vektorunu nasil carpmamiz gerektigini biliyorsak, bu iki matrisin carpimini sanki "ilk matrisin tamami ile ikinci matrisin sutun vektorlerini carpiyormus" gibi dusunebiliriz. Bu da bize tam olarak $$\begin{bmatrix} a & b \\ c& d\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & z \\ y& w\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by & az + bw \\ cx+dy & cz + dw\end{bmatrix}$$ esitligini, yani bildigimiz matris carpiminin kuralini veriyor. Bu, her $m, n, k$ icin $m \times n$ matris ile $n \times k$ matirsi carpmanin kuralina da genisletilebilir ve neden sonucun $m \times k $ oldugunu da gormemize yardimci olur, tek yapmamiz gereken yukaridaki mantigi uygulamak.
3) Ote yandan soyle de dusunebilirsin: Her uygun boyutlu $A, B$ matrisi ve $v$ vektoru icin $(AB)v =A(Bv) $ olmasini istiyor olabilirsin. Bunu neden istiyor olman gerektigini dorduncu secenekte aciklayacagim. Ama simdilik bunu istedigimizi dusunelim. O halde elimizde $$v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2\end{bmatrix}$$ oldugunu varsayarak $$\left(\begin{bmatrix} a & b \\ c& d\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x & z \\ y& w\end{bmatrix} \right)\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c& d \end{bmatrix}\left(\begin{bmatrix} x & z \\ y&w\end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} \right)$$ esitligi olmali. Bunu, birinci secenekteki ekonomik kuralimizi uygulayarak parantez icinden baslayarak yazalim:
$$\begin{bmatrix} a & b \\ c& d \end{bmatrix}\left(\begin{bmatrix} x & z \\ y&w\end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} \right)= \begin{bmatrix} a & b \\ c& d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} xv_1 + zv_2 \\ yv_1 + wv_2 \end{bmatrix}$$ ve yine ayni kurali uygulayarak $$\begin{bmatrix} a & b \\ c& d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} xv_1 + zv_2 \\ yv_1 + wv_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a(xv_1 + zv_2) + b(yv_1 + wv_2) \\ c(xv_1 + zv_2) + d(yv_1+zv_2)\end{bmatrix}$$ Bu noktada parantez iclerini duzenleyip gerekli islemleri yaparsak $$\begin{bmatrix} a(xv_1 + zv_2) + b(yv_1 + wv_2) \\ c(xv_1 + zv_2) + d(yv_1+wv_2)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (ax + by )v_1 + (az+bw) v_2 \\ (cx+ dy) v_1 + (cz+dw)v_2\end{bmatrix}$$ oldugunu goruyoruz. Yine birinci secenekteki ekonomi kuralini uygularsak
$$\begin{bmatrix} (ax + by )v_1 + (az+bw) v_2 \\ (cx+ dy) v_1 + (cz+dw)v_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by & az+bw \\ cx+ dy & cz+dw\end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}$$ elde ediyoruz. Demek ki $$\begin{bmatrix} a & b \\ c& d\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x & z \\ y& w\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by & az+bw \\ cx+ dy & cz+dw\end{bmatrix}$$ olmali.