Şekildeki kendinden önceki karenin alanının yarısı olan iç içe çizilen karelerin alanları toplamı $8cm^2$ ise çevreleri toplamı kaç cm dir ?(limit)

Question

Şekildeki kendinden önceki karenin alanının yarısı olan iç içe çizilen karelerin alanları toplamı $8cm^2$ ise çevreleri toplamı kaç cm dir ?

Answer 1

En dıştaki ( en büyük) olan karenin alanı $a^2$ olsun.  Verilen toplam :$$a^2+\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2^2}+\frac{a^2}{2^3}+...=8 $$  $$a^2(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...)=8 $$

$$a^2(\frac{1}{1-\frac 12})=8 \Rightarrow a^2=4\Rightarrow a=2$$ bulunur.

Şimdi de bu karelerin çevreleri toplamını bulalım(Ç diyelim)

$$Ç:8+4\sqrt2+4+4\frac {1}{\sqrt2}+4\frac{1}{2}+4\frac{1}{2\sqrt2}+4\frac{1}{2^2}+4\frac{1}{2^2\sqrt2}+4\frac{1}{2^3}+...$$ 

$$Ç=8+4\sqrt2+4\frac{1}{1-\frac 12}+\frac{4}{\sqrt2}(\frac{1}{1-\frac 12})=16+8\sqrt2$$ birim olur.

Comments

hocam alana kadar doğru,çevre kısmında şöyle bir hata yapmışsınız .alanı yarıya iniyosa.ilk karenin kenarı 2x2 den 4.diğer karenin alanıda 2 olacak.$a^2=2$ olması için a= $\sqrt {2}$ olmalı.bu yüzden r=$\dfrac {\sqrt{2}} {2}$ kabul edip işlemi yaptığımızda

sonuç $8\sqrt{2}(\sqrt{2}+1$ çıkıyor :)

siz başlamasanız bende bitiremezdim,teşekkürler hocam :)

---

Soruyu bir kez daha okudum. Çözümün çevreler toplamına ait olan kısmında hata yapmışım. Uyarınız için teşekkür ederim. Düzelttim.

---

hocam r yi bulmak için 2.karenin 1 kenarını bulmamız gerekmezmi.2. karenin alanı $a^2=4$

$a=\sqrt {2}$, r yi bulduktan sonra.

$\dfrac {8} {1-\dfrac {\sqrt {2}} {2}}$ işlemini yaparız

2.karenin 1 kenarını nasıl 1 olarak aldınızki hocam :D

---

Mehmet hocam, kimyager'in dediği nedenden ötürü yanıtınız yanlış, düzeltmek gerekiyor.

---

Evet hocam hata yapmışım. Düzelttim. Teşekkürler.