Polinomların bölümünün integrasyonunda kullanılan kurallar ve neden bu kuralları kullandıgımızı gösterin/ispatlayınız. $\displaystyle\int \dfrac{P(x)}{Q(x)}$

Question

$\displaystyle\int \dfrac{P(x)}{Q(x)}$  , $P[x]   ve    Q[x]$ ler polinom olsun.

1) $der(P(x))<der(Q(x))$  ise 

  a) $Q(x)=(a_1.x+b_1)(a_2x+b_2).....(a_nx+b_n)$ şeklinde ise,

     $\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{a_1x+b_1}+\dfrac{A_2}{a_2x+b_2}+.......+\dfrac{A_n}{a_nx+b_n}$ olarak yazılır ve çözülür.

  b) $Q(x)=(ax+b)^n$ şeklindeyse;

     $\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{ax+b}+\dfrac{A_2}{(ax+b)^2}+.......+\dfrac{A_n}{(ax+b)^n}$  olarak yazılır

  c) $Q(x)$'in çarpanları arasında diskriminantları sıfırdan küçük olan $ax^2+bx+c$ şeklinde çarpanlar varsa,

     

     $Q(x)=(a_1.x^2+b_1.x+c_1).(a_2.x^2+b_2.x+c_2)..........(a_n.x^2+b_n.x+c_n)$  ve 

     

     $\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1x+B_1}{a_1x^2+b_1x+c_1}+\dfrac{A_2}{a_2x^2+b_2x+c_2}+............+\dfrac{A_n}{a_nx^2+b_nx+c_n}$

olarak yazılır

2)  $der(P(x))\ge der(Q(x))$  ise

 Polinom bölmesi uygulanır ve $\dfrac{P(x)}{Q(x)}=B(x)+\dfrac{K(x)}{Q(x)}$ şeklinde yazılır. 


NEDEN BÖYLE YAZARIZ?