$\{\text{cos} n: n\in \mathbb{N}\}$, $[-1,1]$ aralığında yoğundur.

Question

yoğun:dense

----

Problems in Mathematical Analysis I 

Real Numbers, Sequences and Series 

W. J. Kaczor, M. T. Nowak 

AMS

Soru: 1.1.16, sayfa 6

-----

Kitaptaki çözüm dışında farklı bir çözüm varsa görmeyi çok isterim. Diğer yandan kitaptaki çözümde bir şey kafamı kurcaladı, asıl sormak istediğim bu.

$t\in[-1,1]$ için $\text{cos}x=t$ olacak şekilde bir $x$ vardır. Bu durumda $$\begin{equation} x=\lim_{n\to\infty}(k_n2\pi+m_n) \end{equation}$$ olacak şekilde $\{k_n\}$ ve $\{m_n\}$ tamsayı dizileri vardır.

----

İkinci ifade nereden geliyor?

Sorunun devamında sabiti $2\pi$ almak periyot için. Herhangi bir sabit de alabilir miydik?

Toparlarsak bir reel sayıyı, tamsayılar dizileriyle nasıl ifade ederiz?

Comments

Ben de bu  $x=\lim_{n\to\infty}(k_n2\pi+m_n)$   eşitliğinin sağ tarafı nasıl  bulundugunu merak ettim. Ama tam sayı dizilerinin limiti tam sayı değil midir?

---

Zaten benim merak ettiğim de bu. Kitabı internette bulabilirsiniz, aynen böyle yazıyor.

---

Evet baktım ama hala mantıklı gelmiyor :) Metok'un dediği şey bana da doğru geliyor.

---

Tam olarak hangi adim mantikli gelmiyor? Belki adim adim gitsek nerenin algina ters dustugunu gorebiliriz?

---

Tam sayıların limiti problemi değil buradaki. Sanırım püf noktası şurası: $\alpha$ irrasyonel olmak üzere, $A=\{k\alpha+m: k, m \in \mathbb Z\}$ kümesinin $\mathbb R$ 'de yoğundur ki bu sonuç aynı kitabın bir önceki sorusunun (15. soru) konusu.

Answer 1

Herhangi irrasyonel bir sabit de alabilirdiniz. Aradığınız teorem şu:

$\gamma$ bir irrasyonel sayı ise $\{k \gamma\ (mod \ 1): k \in \mathbb{N}\}$ kümesi $[0,1]$ aralığında yoğundur.

Hatta bu iddiadan çok daha güçlü olarak bu sayı dizisi $[0,1]$ aralığında eşdağılımlıdır (equidistributed). Tabii $2\pi$'den farklı bir irrasyonel sayı alırsanız sanıyorum ki teoremin kanıtının devamında gerekecek kosinüs toplam formülünü kullanmanız anlamsız olacaktır.

Comments

Peki Metok'un dediği şey doğru değil mi? Limitin tamsayı çıkması konusunda.

---

Şu da (yaklaşık aynı miktarda çaba ile) gösterilebilir:

$\mathbb{R}$ nir bir altgrubu ya ayrıktır ya da yoğundur.

---

Enis, metok'un söylediği şeyi tam anlamadım sanırım. Eşitliğin sağ tarafındaki tam sayı dizilerini şu şekilde buluyoruz: $2\pi$'nin tam sayı katları $(mod\ 1)$'e göre $[0,1]$'de yoğun olduğu için öyle $k_n$ ve $m_n$ bulunabilir ki $2 k_n \pi - m_n$ dizisi $x\ (mod\ 1)$'e yakınsar. Daha sonra da elde ettiğimiz diziye $x$'in tam değerini ekleyin.

---

Bu problemin cozumunde kullanilan metodla su da gosterilebilir:

Ikiden fazla lineer bagimsiz otelemeyle gerilen degismeli grup ayrik bir grup olamaz.

(Burada oteleme kompleks duzlemde bir kompleks sayi ile oteleme $z \mapsto z+c$, grup islemi de bileske.)