$\{\text{cos} n: n\in \mathbb{N}\}$, $[-1,1]$ aralığında yoğundur.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
149 kez görüntülendi

yoğun:dense

----

Problems in Mathematical Analysis I 

Real Numbers, Sequences and Series 

W. J. Kaczor, M. T. Nowak 

AMS

Soru: 1.1.16, sayfa 6

-----

Kitaptaki çözüm dışında farklı bir çözüm varsa görmeyi çok isterim. Diğer yandan kitaptaki çözümde bir şey kafamı kurcaladı, asıl sormak istediğim bu.

$t\in[-1,1]$ için $\text{cos}x=t$ olacak şekilde bir $x$ vardır. Bu durumda \begin{equation} x=\lim_{n\to\infty}(k_n2\pi+m_n) \end{equation} olacak şekilde $\{k_n\}$ ve $\{m_n\}$ tamsayı dizileri vardır.

----

İkinci ifade nereden geliyor?

Sorunun devamında sabiti $2\pi$ almak periyot için. Herhangi bir sabit de alabilir miydik?

Toparlarsak bir reel sayıyı, tamsayılar dizileriyle nasıl ifade ederiz?


18, Nisan, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Enis (1,075 puan) tarafından  soruldu

Ben de bu  $x=\lim_{n\to\infty}(k_n2\pi+m_n) $   eşitliğinin sağ tarafı nasıl  bulundugunu merak ettim. Ama tam sayı dizilerinin limiti tam sayı değil midir?

Zaten benim merak ettiğim de bu. Kitabı internette bulabilirsiniz, aynen böyle yazıyor.

Evet baktım ama hala mantıklı gelmiyor :) Metok'un dediği şey bana da doğru geliyor.

Tam olarak hangi adim mantikli gelmiyor? Belki adim adim gitsek nerenin algina ters dustugunu gorebiliriz?

Tam sayıların limiti problemi değil buradaki. Sanırım püf noktası şurası: $\alpha$ irrasyonel olmak üzere, $A=\{k\alpha+m: k, m \in \mathbb Z\}$ kümesinin $\mathbb R$ 'de yoğundur ki bu sonuç aynı kitabın bir önceki sorusunun (15. soru) konusu.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
Herhangi irrasyonel bir sabit de alabilirdiniz. Aradığınız teorem şu:

$\gamma$ bir irrasyonel sayı ise $\{k \gamma\ (mod \ 1): k \in \mathbb{N}\}$ kümesi $[0,1]$ aralığında yoğundur.

Hatta bu iddiadan çok daha güçlü olarak bu sayı dizisi $[0,1]$ aralığında eşdağılımlıdır (equidistributed). Tabii $2\pi$'den farklı bir irrasyonel sayı alırsanız sanıyorum ki teoremin kanıtının devamında gerekecek kosinüs toplam formülünü kullanmanız anlamsız olacaktır.
18, Nisan, 2015 Burak (1,269 puan) tarafından  cevaplandı

Peki Metok'un dediği şey doğru değil mi? Limitin tamsayı çıkması konusunda.

Şu da (yaklaşık aynı miktarda çaba ile) gösterilebilir:

$\mathbb{R}$ nir bir altgrubu ya ayrıktır ya da yoğundur.

Enis, metok'un söylediği şeyi tam anlamadım sanırım. Eşitliğin sağ tarafındaki tam sayı dizilerini şu şekilde buluyoruz: $2\pi$'nin tam sayı katları $(mod\ 1)$'e göre $[0,1]$'de yoğun olduğu için öyle $k_n$ ve $m_n$ bulunabilir ki $2 k_n \pi - m_n$ dizisi $x\ (mod\ 1)$'e yakınsar. Daha sonra da elde ettiğimiz diziye $x$'in tam değerini ekleyin.
Bu problemin cozumunde kullanilan metodla su da gosterilebilir:

Ikiden fazla lineer bagimsiz otelemeyle gerilen degismeli grup ayrik bir grup olamaz.

(Burada oteleme kompleks duzlemde bir kompleks sayi ile oteleme $z \mapsto z+c$, grup islemi de bileske.)
...