Question

$\lim\limits_{x\to (\frac{\pi}{2})^-}[(2x-\pi)\tan x]$ 'in limiti nedir?

*Yorumum:kitapta çözümü vardı,pek bişey anlayamadım :|

Answer 1

$x\longrightarrow \pi^-/2$   olurken $2x-\pi$ ye nolur?  $0^-$'a gider demi?

$x\longrightarrow \pi^-/2$  olurken $tanx$'e ne olur? $tan(\pi^-/2)$ ye gider o zaman 

tüm soruyu şöyle yazarsam güzel olur.

$\lim\limits_{\ell \to 0^-}[\ell.tan(\frac{\pi+\ell}{2})]$                 $2x-\pi=\ell$ dönüşümü yaptım


$tan(\frac{\pi+\ell}{2})=-cot(\frac{\ell}{2})=\frac{-1}{tan(\frac{\ell}{2})}$  olur , o zaman yeninden yazarsak;

$\lim\limits_{\ell \to 0^-}[\ell.tan(\frac{\pi+\ell}{2})]=-\lim\limits_{\ell \to 0^-}\dfrac{\ell}{tan\left(\dfrac{\ell}{2}\right)}=-\lim\limits_{\ell \to 0^-}\underbrace{\dfrac{\left(\dfrac{\ell}{2}\right)}{tan\left(\dfrac{\ell}{2}\right)}}_1.2=-2$ olur 

Answer 2

Her $\epsilon>0$ sayısına karşılık

$x_0>x>x_0-\delta$ iken $\epsilon>|f(x)-L|$ olacak şekilde bir $\delta>0$ sayısı bulunabilirse,$f(x)$'in $x_0$'da soldan bir $L$ limiti vardır der ve

$$\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=L$$ yazarız.

Bu soru için limit "$-2$" olduğundan $L=-2$ dir,

Her $\epsilon>0$ sayısına karşılık

$$\left(\dfrac{\pi}{2}\right)>x>\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-\delta$$  $$ve$$$$\left[0<|(2x-\pi)(tanx)-(-2)|<\epsilon \right]$$  olacak şekilde ,

$\epsilon$   ve   $\delta$ sayıları vardır.
 

$\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ ye soldan yaklaştıgımızdan dolayı, $\left[0<|(2x-\pi)(tanx)-(-2)|<\epsilon \right]$  bu ifadede

$(2x-\pi)$ parantezi ve $tanx$ ifadesi, $\delta$ kadar küçük yaklaşımlarla $\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ ye soldan yaklaşırken $\epsilon$ kadar küçük bir sayı içinde ,$L$ ile  $\lim\limits_{x\to x_0^-}(2x-\pi)(tanx)$ birbirine yaklaşacak, $\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ ye soldan yaklaşırken herhangi kritiklik vs. bulunmadığından limiti $L$ dir.

Comments

"soldan yaklaşırken herhangi kritiklik vs. bulunmadığından" ne demek oluyor? $L=10$ icin de bunu diyebilir miyiz mesela?


Bir de ortada duran "yani"den sonraki sol-sag icin aralik.

---

yaniden sonrasını düzelttim,

işte tam olarak yöntemi nasıl yapacagız?

---

Soruya gore degisir. Ornegin $\lim_{x\to 0}\sin x=0$ icin Verilen $\epsilon>0$ icin $\delta=\epsilon>0$ secersek $0 < |x-0|<\delta$ oldugunda $|\sin x -0|=|\sin x|<|x|<\delta=\epsilon$ olur.

---

soruyu anlayıp anlamadığımdan emin deilim.sanki 5 dk sonra bi yerde çözmeye çalışsam çözemeyecekmişim gibi : )

---

Üstteki cevaba bak sen, bu cevap keyfli değil :)

---

neden böyle şeyler yazıyosun sorularıma .s .s .FÇasdas