Parçalı Fonksiyonlar Hakkında ;

Question

1 )Başlangıç için Örnek;  

Hangi $m$ ve $ b$ değerlerinde,

$\boxed{y=\begin{cases}\sin x,\quad x<\pi \\  mx+b,\quad x\ge \pi \end{cases}}$

$x=\pi$ 'de türevlenebilirdir?

2 )Asıl Soru; 

$\boxed{y=\begin{cases}\dfrac{1-\cos x}{x},\quad x\neq 0 \\  0,\quad x=0 \end{cases}}$

fonksiyonu  $x=0$'da türevi var mıdır?

Answer 1

Surekliligi: $$\lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x}=\lim\limits_{x \to 0}\frac{2\sin^2(x/2)}{x}=\lim\limits_{x \to 0}\sin(x/2)\frac{\sin(x/2)}{x/2}=0$$ olur. Turevi: $$\lim\limits_{h\to 0}\frac{1-\cos h}{h^2}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{2\sin^2(h/2)}{h^2}=\lim\limits_{h\to 0}\frac12\left(\frac{\sin(h/2)}{h/2}\right)^2=\frac12$$ olur.

Comments

$f(x)=\dfrac{1-cosx}{x}$  oldugundan ,türev için


$\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{(-1).(cos(x+h)+cosx)}{h^2}$  olmazmıydı?

---

Türevlenebildiği için sürekliliği göstermeye gerek yok.

---

veya direkt türev alıp;

$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1-cosx}{x}\right)=\dfrac{sinx.x+cosx-1}{x^2}$ olmaz mıydı?

---

ama yok haklısınız;

$f(0)=0$  oldugundan


$\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\dfrac{1-cosh}{h}-0}{h}$ yazdık.

---

@Doğan hocam, katılıyorum, türev , sürekliliği gerektirir.