Önce düzlemde yani n=2 için ispatı yapalım sonra n boyuta genellenebilir.
→V=(x1,y1),→W=(x2,y2) olsunlar.Bu iki vektörün oluşturduğu açı ölçüsü θ olsun. O noktası orijin olmak üzere, OVW üçgeninde kosinüs teoremi uygulanırsa
|→VW|2=|V|2+|W|2−2|V|.|W|.cosθ dır.
(x2−x1)2+(y2−y1)2=x21+y21+x22+y22−2|V|.|W|.cosθ dır
−2(x1.x2+y1.y2)=−2|V|.|W|.cosθ dır
x1.x2+y1.y2|V|.|W|=x1.x2+y1.y2√x21+y21.√x22+y22=cosθ olacaktır. Eğer vektörler n boyutlu uzayın →V=(x1,x2,x3,...,xn),→Y=(y1,y2,y3,...,yn) şeklinde vektörleriyse,formül cosθ=x1.y1+x2.y2+x3.y3+...+xn.yn√x21+x22+x23+...+x2n.√y21+y22+y23+...+y2n şeklinde olacaktır.