Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
37.1k kez görüntülendi


Lisans Matematik kategorisinde (7.9k puan) tarafından  | 37.1k kez görüntülendi

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Önce düzlemde yani n=2 için ispatı yapalım sonra n boyuta genellenebilir.

V=(x1,y1),W=(x2,y2) olsunlar.Bu iki vektörün oluşturduğu açı ölçüsü θ olsun. O noktası orijin olmak üzere, OVW üçgeninde kosinüs teoremi uygulanırsa 

|VW|2=|V|2+|W|22|V|.|W|.cosθ dır.

(x2x1)2+(y2y1)2=x21+y21+x22+y222|V|.|W|.cosθ dır 

2(x1.x2+y1.y2)=2|V|.|W|.cosθ dır 

x1.x2+y1.y2|V|.|W|=x1.x2+y1.y2x21+y21.x22+y22=cosθ     olacaktır. Eğer vektörler n boyutlu uzayın V=(x1,x2,x3,...,xn),Y=(y1,y2,y3,...,yn) şeklinde vektörleriyse,formül cosθ=x1.y1+x2.y2+x3.y3+...+xn.ynx21+x22+x23+...+x2n.y21+y22+y23+...+y2n şeklinde olacaktır.

(19.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

elinize sağlık.     

1 beğenilme 0 beğenilmeme

||u||=n=1u2       n  boyuttaki u vektörünün büyüklüğüdür.

ve


n=1u.v=u.v    yani u vektörü ve v vektörünün skalelistik(veya nokta) çarpımıdır.



image

çizgede D köşesinde oluşan açıya γ der isek,      (m(ˆD)=γ)

ve iki vektör arasında oluşan açı πγ=θ olur


(||u+v||)2=(||u||)2+(||v||)22.||u||.||v||.cosγ  skalelistik eşitliği çıkar.

en başta verilen eşitliği kullanarak bir daha yazarsak,


(||u+v||)2=(||u||)2+(||v||)22.||u||.||v||.cosγ




(ni=1u2i+ni=1v2i+2.ni=1ui.vi)2=(ni=1u2i)2+(ni=1v2i)22.(ni=1u2i).(ni=1v2i).cosγ


ni=1u2i+ni=1v2i ler sadeleşicektir ve geriye,

2.ni=1ui.vi=2.(ni=1u2i).(ni=1v2i).cosγ



cosγ=ni=1ui.vini=1u2i.ni=1v2ien başta verilen nokta çarpım gereği yazarsak;


cosγ=v.u||v||.||u||olur


πγ=θolduğundan




cosθ=v.u||v||.||u||olur ve




θ=arccos(v.u||v||.||u||)olur ve 2 vektör arasındaki açıyı bulmuş oluruz


(7.9k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Sizin ispat daha hoş. Teşekkürler.

Ek;

(||u||)2=(u).(u)  oldugundan daha kısa da çözebilirdim.

Untulmuş herhalde:

Bu formuldeki γ açısı u ile v arasindaki açı değil. O açı πγ. Bu nedenle cevapta olmamasi gereken bir  çıkıyor.

neden πγ yaptık ki hocam? aradaki açıya isim verip cosinus bagıntısı yaptım.

u ile v arasindaki açı C kosesindeki açıdır.

C de degıl sanırım , çok sağolun tam anladım, vektörlerin başlangıç noktasını tek bır noktaya toplayıp aralarındaki açıyı alacağız. 

Haklisin. D deki dış açı demelydim.

20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,096,017 kullanıcı