$\displaystyle \lim_{t \to \infty} y(t)$ değeri kaçtır?

Question

Merkez bankasının $t$ zamanda piyasaya sürdüğü para $y(t)$ ve $k$ sabit olmak üzere, paradaki değişim 

$y'(t)=\frac{y^2}{kt^3}$

$y(1)=\frac{k}{3}$

başlangıç değer problemi ile modellenmektedir.

Buna göre $\displaystyle \lim_{t \to \infty} y(t)$ değeri kaçtır?

Comments

Soruyla ilgili hiçbir şey yapamadım. $y(t)=y$ diye tanımlamamış, direkt fonksiyon olan $y$ olsa öyle bir gösterim ben görmedim daha önce, tabiki ben görmedim diye olmadığı anlamı çıkmaz ama :)

---

Bernoulli Denklemi yontemini kullandin mi? Differansiyel denklemler... (bi link)

---

Hocam hiçbir şey yapamadım. Pek anlamadım soruyu. Şu kalan sorularımı yazayım linke bakıyorum hocam.

---

Okudum ama pek bir şey anlamadım maalesef hocam.

---

Oradaki $p(t)=0$ ve $q(t)=\frac{1}{kt^3}$.

---

Ben bu soruyu lisans kategorisine alsam yerinde olacak sanırım hocam.

---

Evet.                 

---

Thomas'ta buldum sanırım anlatıldığı yeri. Belki ondan anlarım, bakalım.

---

Hocam zahmet olmazsa Bernoulli'den çözümünü yazabilir misiniz? Merak ettim.

---

Bi ara doneyim, donmezsem sen bana hatirlat tekrar.

---

Teşekkürler hocam.

Answer 1

$y'(t)=\frac{y^2}{kt^3}\Rightarrow \frac{y'(t)}{y^2}=\frac{1}{kt^3}$ ifadesini integre edersek $\displaystyle \int \frac{y'(t)}{y^2}dt=\int\frac{1}{kt^3}dt\Rightarrow \frac{1}{y}=\frac{1}{2kt^2}+c$ buluruz. $y(1)=\frac{k}{3}$ olduğundan $\frac{3}{k}=\frac{1}{2k}+c\Rightarrow c=\frac{5}{2k}$ buluruz. İfadeyi düzenlersek $\frac{1}{y}=\frac{1}{2kt^2}+\frac{5}{2k}\Rightarrow y(t)=\frac{2kt^2}{5t^2+1}$ buluruz. O halde $\displaystyle \lim_{t \to \infty} y(t)=\lim_{t \to \infty} \frac{2kt^2}{5t^2+1}=\frac{2k}{5}$ olmalıdır.

Comments

Bernouli'ye gitmeye gerek yokmus. Ilk integralden $-1/y+c$ geliyor galiba.

---

Ben de hocaya sordum. O da "Bunlar lisans sen niye uğraşıyorsun ki bunlara?" diyecek diye korktum ama Allah'tan ortaöğretimde çözümü varmış :) 

---

Sen boyle sorular sorunca ortaogretim gibi bakmiyorum.  Diyorum ki, kesin yine bi kacak elektrikle ilgilidir.

$y'+p(x)y=q(x)$ problemini cozebiliyor musun?

---

Şimdilik hayır. Ama sanırım bunu öğrenirsem LC devresiyle ilgili sorumu çözebileceğim.