Teorem: Doğal sayıların kartezyen karesinde
α={((a,b),(c,d))|a+Nd=b+Nc}⊆N2×N2
bağıntısı bir denklik bağıntısıdır.
Tanım (Tamsayı, Tamsayılar Kümesi): Doğal sayıların kartezyen karesinde bir önceki teoremdeki α denklik bağıntısına göre oluşan denklik sınıflarının her birine bir tamsayı; denklik sınıflarından (tamsayılardan) oluşan bölüm (oran) kümesine de tamsayılar kümesi denir.
Z:=N2/α={[(a,b)]|(a,b)∈N2}
Tanım (Tamsayılarda Eşitlik): [(a,b)],[(c,d)]∈Z olmak üzere
[(a,b)]=Z[(c,d)]:⇔a+Nc=Nb+Nd
şeklinde tanımlanır.
Tanım (Tamsayılarda Toplama): [(a,b)],[(c,d)]∈Z olmak üzere
[(a,b)]+Z[(c,d)]:=Z[(a+Nc,b+Nd)]
şeklinde tanımlanır.
İpucu: Aşağıdakiler yeterli olacaktır.
Tanım (Tamsayılarda Çarpma): [(a,b)],[(c,d)]∈Z olmak üzere
[(a,b)]⋅Z[(c,d)]:=Z[(a⋅Nc+Nb⋅Nd,a⋅Nd+Nb⋅Nc)]
şeklinde tanımlanır.
Tanım (Tamsayılarda Sıralama): [(a,b)],[(c,d)]∈Z olmak üzere
[(a,b)]≤Z[(c,d)]:⇔a+Nd≤Nb+Nc
şeklinde tanımlanır.
Tanım (Pozitif Tamsayı, Negatif Tamsayı): [(a,b)]∈Z olmak üzere
[(a,b)] pozitif:⇔b<Na
[(a,b)] negatif:⇔a<Nb
Z+:={[(a,b)]|b<Na}
Z−:={[(a,b)]|a<Nb}