Question

Sadece $a$ ve $b$ den oluşan alfabemizde ,$n$ tane $a$ ve $m$ tane $b$ bulunan kümeyi kullanarak kaç tane sözcük yazabiliriz?

Comments

Yani alfabe kümemiz $n+m$ elemanlı mı? Ayrıca aynı harfin belli sayıda yan yana gelmesi durumunda oluşan harf dizimi kelime sayılacaktır değil mi? Son bir şey daha tek harfli,iki harfli,...,$n+m$ tüm kelimelerin toplamı mı istenmektedir acaba?

---

evet hocam , koşul verılmedıgınden dedıklerınıze uygun bir cevap olacaktır.

---

Bu sorular neden lisans kategorisinde?

---

onermeler mantıgı unıversıtede okutuluyor ve bu sorular o kıtaptan alıntı.

---

Kalkulus kitaplarinin basinda da fonksiyonlar vs var. 

---

haklısınız hocam düzelttim.

Answer 1

1) yalnız $a$ harfinden oluşan sözcüklerin kümesi $A$ olsun. $s(A)=\frac{n(n+1)}{2}$dır.

2)Yalnız $b$ harfinden oluşan sözçüklerin kümesi $B$ olsun. $s(B)=\frac{m(m+1)}{2}$ dır.

3)Bir adet $a$, bir adet $b$ bulunduran,

Bir adet $a$,iki adet $b$ bulunduran,..., bir adet $a$, $m$ adet $b$ bulunduran kelimelerin sayısı:

$\sum_{b=1}^m\frac{(1+b)!}{b!}$ kadardır. 

İki adet $a$ bir adet $b$, iki adet $a$ iki adet $b$,...,iki adet $a$ $m$ adet $b$ bulunduran kelime sayısı :$\sum_{b=1}^m\frac{(2+b)!}{2!.b!}$ kadardır.Böylece devam edilirse,en son $\sum_{b=1}^m\frac{(n+b)!}{n!.b!}$ kadar kelime olur. 

Bütün kelimelerin $\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^m\frac{(a+b)!}{a!.b!}$ kadar olması gerekir. Tüm bu durumların sonucu :

$$\sum_{a=0}^n\sum_{b=0}^m\frac{(a+b)!}{a!.b!}$$ olacaktır. 

Comments

Kitap cevap için sadece $\dfrac{(a+b)!}{a!.b!}$ demiş, kitap koşul belirtmemesine rağmen önceki sözcüklerin olmalarının toplamını istememiş , sadece "n+m" kadar seçenekten tekrarlı permutasyon yaparak bulmuş. Sizin çözümünüz daha genel ve güzel , altküme sayılarının toplamı. Çözüm çok iyi tebrikler hocam. bahsi mevzu kitap"Ali Nesin Önermeler Mantığı 2.bölüm 3.soru"

---

Teşekkürler Anıl.

Answer 2

$n$ tane  $a$ olsun ama bu $a$ lar şöyle olsun;

$\underbrace{a_1,a_2,a_3,............a_n}_{n\;tane}$ 

ve bu $a_i$ lerin hepsi eş , sadece dizi şeklinde yazmak için numaralandırdım.

aynı şekilde $b_i\;:\;\underbrace{b_1,b_2,b_3,.......b_m}_{m\;tane}$  tüm sözcükleri bulmak istiyoruz .

Koşul; Metok hocamızın cevabının özel bölümü olarak, tüm elemanlar sırada olmak koşulu ile sözcüklerin cins sayısını belirleyeceğiz.


O zaman ,her zaman $n+m$ tane harf bulunmak zorunda sadece harflerın yerlerı değişecek ve bu değişimde;

$\underbrace{\Box}_{a_2}\underbrace{\Box}_{a_3}\underbrace{\Box}_{a_4}\underbrace{\Box}_{b_{24}}\underbrace{\Box}_{b_2}\underbrace{\Box}_{a_{33}}..............\underbrace{\Box}_{a_0}\underbrace{\Box}_{b_1}\underbrace{\Box}_{b_7}$

Veya


$\underbrace{\Box}_{a_1}\underbrace{\Box}_{a_0}\underbrace{\Box}_{a_6}\underbrace{\Box}_{b_{74}}\underbrace{\Box}_{b_3}\underbrace{\Box}_{a_{23}}..............\underbrace{\Box}_{a_{10}}\underbrace{\Box}_{b_{11}}\underbrace{\Box}_{b_8}$

2 örnek te eşdir çükü;

$a_1=a_2=a_3=............=a_n$

ve

$b_1=b_2=b_3=............=b_n$

oldugunu söyledik o zaman.

$(n+m)$ sıralamaya dönel permutasyon uygularsak

cevap :  $\dfrac{(n+m)!}{n!.m!}$ gelir $\Box$